例談三角問題的突破技巧

賈海軍

在高中求解一些三角問題時，學生會覺得繁、難，教師應教學生學會避免繁、難、易錯的解題思路與方法，用轉化后的巧妙方法快速有效地解決問題.本文就以三角問題為例來說明用構造法解三角題的方法與技巧，以供學習者參考.

一、構造向量

例1：求參數a的范圍，使得方程cosx+asinx=2（a≠0）在[0，■]上有解.

分析：設u=cosxv=sinx（它表示一個單位圓），則原方程可化為v=-■+■（它表示過點（2，0）的直線系），如圖1，原方程有解等價于直線v=-■+■與■圓弧AP有交點，即斜率-■應滿足-■≤-■≤0，于是a≥■.

小結：選用常規方法不可避免地要進行分類討論，顯然較繁，而利用單位圓求解，則完全避免了對參數a的分類討論.

例2：證明兩角和的余弦公式C■：cos（α+β）=cosα+cosβ-sinαsinβ.

分析：設■、■是角α、β終邊上的單位向量，■是角-β終邊上的單位向量，則A、B′坐標分別為A（cosα，sinα），B′（cos（-β），sin（-β）），所以cos（α+β）=■=cosα·cos（-β）+sinα·sin（-β），即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ成立.

小結：構造向量巧妙證明此公式，顯然比課本的證明方法簡單多了，將向量與單位圓結合起來，達到了簡潔明了的效果.

二、構造單位圓

例3：計算cos10°-cos50°-cos70°

分析：由cos10°-cos50°-cos70°=cos10°+cos130°+cos250°，聯想到單位圓上的點A（cos10°，sin10°），B（cos130°，sin130°），C（cos250°，sin250°），易知△ABC是正三角形且中心在坐標原點.由重心坐標公式得

■（cos10°+cos130°+cos250°）=0，故cos10°-cos50°-cos70°=0.

小結：把原式進行轉化，聯想到單位圓上的三點，進而用三角形的重心坐標公式求解，很巧妙.

三、構造幾何模型

例4：在△ABC中，如果a=10，c-b=6，求證：■=■.

分析：由a=10，c-b=6，由雙曲線定義知，動點A在以B（-5，0），C（5，0）為焦點的雙曲線■-■=1的右支上，由雙曲線的性質得：

|AB|=■x+3，|AC|=■x-3，故

■=■·■=■·■=■·■=■=■.

小結：本題雖然可以通過綜合運用三角公式來證明，但構造雙曲線方程，利用解析法證明更富想象力，更直觀、明了.

四、構造對偶式

例5：化簡sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°

分析：構造對偶式，設M=sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°，

N=cos■35°+cos■85°-cos35°cos85°.

則M+N=2-cos50°；N-M=cos70°+cos170°-cos120°=cos（120°-50°）+cos（120°+50°）+■=-cos50°+■.

所以2M=2-cos50°+cos50°-■=■，

即M=■，故sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°=■.

小結：在求解或證明一些三角問題時，如果能靈活運用對偶的數學思想，注意到問題的結構特征，巧妙地構建出對偶式，并對原式和對偶式進行和、差或積的運算，問題就可以巧妙地得以解決.

五、構造斜率

例6：求函數y=■的最值.

分析：設點A（cos■x-sinx，sin■x+sinx），B（3，-1），則y表示AB兩點連線的斜率.點A的軌跡方程是x=cos■x-sinxy=sin■x+sinx，即x+y=1（-1≤x≤■），故點A的軌跡為線段MN：x+y=1（-1≤x≤■），其中M（-1，2），N（■，■）如圖2所示，因為k■=-■，k■=-■，所以-■≤y≤-■.

例7：化簡■

分析：設A（cos20°，sin20°），B（cos40°，sin40°），則原式的幾何意義是單位圓上的兩點A、B連線的斜率，如圖3，故原式=K■=tan∠BCD=tan（40°+80°）=-■.

小結：利用斜率求解分式三角函數問題，解法直觀、簡便，對創新思考問題，開闊解題思路，提高解題能力十分有益.

六、構造參數

例8：設n∈N■，且sinα+cosα=-1，求sin■α+cos■α的值.

分析：設sinα=-■-t，cosα=-■+t，由（-■-t）■+（-■+t）■=1，解得：t=±■，當t=■時，sinα=-1，cosα=0；當t=-■時，sinα=0，cosα=-1，故sin■α+cos■α=（-1）■.

例9：已知△ABC三個內角滿足A+C=2B，■+■=■，求cos■的值.

分析：由題設知B=■，cosB=■，可設A=■+α，C=■-α（-■<α<■）.則由條件易得■+■=-2■，進一步通分化簡得2■cos■α+cosα-■=0，解得cosα=■或cosα=-■（舍去）.故cos■=cosα=■.

小結：構造新的“量”—參數，可以把原來較復雜的數學問題轉化為較簡單的或更常規的數學問題來求解，更簡便.

七、構造函數

例10：已知函數f（x）=sinxcosx+■+3，若f（lga）=4，則f（lg■）的值為？搖？搖 ？搖？搖.

分析：直接求解顯然不可取，構造新函數

g（x）=sinxcosx+■，顯然g（x）是奇函數，

則f（x）=g（x）+3，所以f（-x）=-g（x）+3，所以f（x）+f（-x）=6，則f（lga）+f（-lga）=6，又因為f（lga）=4，所以f（lg■）=2.

例11：已知x，y∈[-■，■]，a∈R，且x■+sinx-2a=04y■+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.

分析：若用三角公式則不易求解，觀察題設的兩個等式可得：x■+sinx=（-2y）■+sin（-2y），此式有相同的結構，于是可引入函數：f（t）=t■+sint，t∈[-■，■]，則有f（x）=f（-2y）.因為當時t∈[-■，■]時，f（t）=t■+sint是增函數，所以有x=-2y，故cos（x+2y）=cos0=1.

小結：構造函數，整體思考，這是整體觀念與構造思維的一種應用，整體處理可使問題簡單化.

八、構造直線

例12：求證：（cosα-■）■+（sinα-■）■≥9.

分析：這是一道三角證明題，如果濫用公式有一定的運算量，不如回過頭來，認真分析一下題目，發現只要證明■≥3，問題就會不攻自破.構造直線：xcosα+ysinα-1=0，因為點M（cosα，sinα）在直線xcosα+ysinα-1=0上，而點P（■，■）不在此直線上，所以點P（■，■）到點M（cosα，sinα）的距離不小于它到此直線的距離3，即■≥3成立，故（cosα-■）■+（sinα-■）■≥9.

小結：巧妙構造直線證明三角不等式，避免了繁瑣的運算，這是一種行之有效的解題方法.

九、構造方程

例13：已知α、β為兩相異銳角，且滿足方程acos2x+bsin2x=c，求證：cos■（α-β）=■.

分析：由題設知，點A（cos2α，sin2α）和點B（cos2β，sin2β）所在的直線方程是ax+by-c=0.（1）.

而經過A、B兩點的直線方程還可以表示為：

■=■，

即xcos（α+β）+ysin（α+β）-cos（α-β）=0.（2）

由于（1）、（2）表示同一條直線，因而原點到兩直線的距離相等.

所以■=■，即cos■（α-β）=■.

小結：數學題目的特點是形式多變，思路縱橫，解法繁簡迥異.本題通過適當構造方程，棄繁就簡，找到了一條解決問題的捷徑.