成人高等教育《近世代數》課程中蘊含的數學美

房亮

摘要：本文從近世代數中的幾個重要系統出發，以近世代數的建立與擴展、系統建構的邏輯基礎為切入口，探討《近世代數》課程中所蘊含的代數結構的簡單美、代數理論的結構美和現實美、代數系統的和諧美、近世代數的抽象美和自由美等，從而揭示《近世代數》的臻美取向與人文底蘊。

關鍵詞：近世代數數學美和諧美

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近世代數是以研究代數系統的性質與構造為中心的一門學科，它不僅是現代數學的重要基礎，也是許多其他現代科學的基礎，已成為數學專業成人高等教育學生的重要專業必修課程之一。近世代數中的等價、劃分、同態、同構等思想方法，不僅是最重要的數學方法之一，而且也是觀察和研究自然和社會的普遍采用的方法。隨著科技的不斷發展與實際應用的需要，近世代數的基本理論與基本思想逐漸滲透到編碼與信息安全等領域。本文將以近世代數中幾個重要而又典型的代數系統為切入點，探討近世代數中蘊涵的數學美，從而揭示其臻美取向和人文底蘊。

一、代數結構的簡單美

在最基本的邏輯層次——集合和映射基礎上抽象而成的各大代數系統，由于其抽象出的概念不再是客觀事物原本的形象，從抽象概念逐級演繹出的推理論證的方法，排除了自由、價值、人文等生活中的終極意義的信念，完全置身于抽象的世界之中。要還原抽象系統的物理及其本質屬性，需要利用多種方法對其本身結構加以認識，找出系統間的結構關系，實現系統的同構、同態等等。下面僅通過同構進行研究和分析上面所提到的代數系統。

同構也稱同構映射，是現代數學一個很重要的基本概念。同構關系是一種等價關系，等價的兩個代數系統具有完全相同的代數性質和數學構造，在代數性質上可以視為同等的。繼群之后逐步建立的其他代數系統結構研究，常常也會使用同構和同態等工具。比如，向量空間的擴展就是模。又如，對于很多域的研究可以轉化為本身的同構群，進而使研究變得更清晰易懂。竭力找出系統間的結構關系，實現同構、同態等意義下的簡單形態，這是研究代數系統的方法論準則。

二、代數理論的結構美

無論系統結構在深度和廣度上如何擴展，系統最基本的屬性就是集合，而由代數運算和公理條件所限定的結構，將本來彼此獨立的各元素密切的聯系起來，使得元素之間有了遠近關系、大小之分及運算，使得系統有了架構。因此，代數系統的邏輯起點是一致的，集合和映射以及必要的公理條件是所有系統都具備的要素。不同的系統有著統一的邏輯起點，統一的系統又會有差異，差異中有統一、統一中又存在差異，這正是近世代數建構美的本質所在。代數系統的建立都是希望用統一的、抽象的方法來整體考察，并不去考慮獨立的元素。近世代數建立的理性美體現在：邏輯一致、統一協調、整體把握。

.我們認識近世代數建立與擴展中邏輯基礎的簡單一致，以及為了研究系統之間的結構關系，實現同態、同構等意義下的簡單形態的理性思維，就是從共性上把握對象間的本質，品味數學表達與分析中的質樸、和諧、涵蓋美的數學內在美，體驗數學的聯系帶來的深刻美學價值。.

三、代數理論的現實美

數學和其他任何學科都面臨著同一個問題：它能派在什么用場？就是說它的實實際意義或價值是什么。數學能發展到高度抽象的近現代數學時期，使得邏輯抽象實現的純數學領域更渴望找到其本身存在的直接或間接的實際意義，盡管數學家純粹的思維實現的只是數學體系內部邏輯發展的必然性，這樣必然走向理論先行的、超驗的道路上，而現代物理學在尋求本身發展的同時找到了其必需的工具——數學，意外的為數學找到了存在的意義，回歸了價值美。

比如，群論的產生最初是在探討高次方程的求解時，發現了方程的根的對稱性和平等性是解決全部問題的關鍵。隨著科學的發展，近世代數的研究成果和方法已逐步被應用到工程技術中，如代數編碼學、語言代數學、代數自動化理論等領域，并對組合數學的突起和發展產生了重要影響。

四、代數系統的和諧美

數學美之根源在于統一和和諧統一性，源于對事物的本質認識和科學抽象，如在解決五次或者五次以上代數方程的根式解問題時，阿貝爾和伽羅華引入了置換群的理論之后，人們慢慢發現，對于這一理論中大多數的本質問題來說，用以構成群的特殊材料——置換并不是最主要的，重要的只是在于對任意集合里所規定的代數性質的研究，這樣就把置換群的研究推進到了更一般的抽象群的研究上去，把群的研究建立在公理化的基礎上，使他的理論變得更加嚴謹和清晰。這種和諧統一將特殊問題化為一般討論，是科學抽象的典型應用。

在近世代數中，除了研究某種代數系統如群環域等自身的內部結構之外，考慮代數系統間的聯系也是具有重大的意義，這種聯系往往以某種代數系統在另一種代數系統上的作用來實現。譬如模就是具有環作用的交換群。許多在表面上看來差異很大的代數系統，如交換群環理想線性空間，在模的語言下都統一了起來。

五、近世代數的抽象美和自由美

從初等數學的基本概念到現代數學的各種原理都具有普遍的抽象性與一般性。從伽羅瓦和阿貝爾開創以來，近世代數以絕對抽象的代數系統的結構為研究中心，實體化的公理轉變成了形式化的公理，數學的公理化方法所體現的理論簡單性更加復雜了。近世代數中所處理的概念，比如，群、環、域、模等及其理論是抽象的，脫離了具體事物內容，它們當中都蘊含著抽象美和自由美。

總之，近世代數的教學是一個伴隨著研究和創新的過程，它需要掌握一定的數學方法。在近世代數的教學中，通過挖掘其中所蘊涵的數學美和數學思想方法，有助于揭示數學知識的精神實質，可以讓學生掌握近世代數的精髓，有利于培養學生的抽象思維能力和審美能力，有利于培養學生的綜合素質和創新意識。

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