在數學教學中“嘗試錯誤”

沈耀新

一、“嘗試錯誤”是取得成功的漸進過程

“嘗試——錯誤”是美國心理學家桑代克在19世紀末20世紀初根據大量動物實驗得出的問題解決理論。桑代克認為，動物學習的過程是一個不斷嘗試、不斷錯誤，最后獲得成功的漸進過程，問題解決是一定的情景和一定的行為在多次聯結中最終達到一定目的或效果的學習行為。人的學習與動物的學習在本質上是一樣的，只是復雜程度不同。由于學生的嘗試是沒有指導的嘗試，大部分學生都無法在第一次嘗試中就獲得成功，因此，學生的學習過程必然是一個“嘗試→錯誤→再嘗試→再錯誤”并最終以經歷“大量錯誤及嘗試”后才取得成功的漸進過程。

其實，失敗也是一種學習。失敗并不如人們想象的那樣可怕，它讓人們承認自己不夠完美，如果人們彼此公開地分享失敗的經驗，那么“失敗”將成為他們相互學習的最好材料。在硅谷，“午餐時間”是精英們經常用來交流，并從別人失敗的例子中獲取真知的良好時機，因為聰明能干的人們知道：如果只是贏得僥幸，那么我們其實沒有真正的收獲。

二、要敢于面對嘗試中的錯誤

“嘗試教學”改變了傳統教學的消極影響，使學生的思維從保守、被動的狀態中解救出來，為培養學生的思維品質創設了條件。 然而正是因為“嘗試”，學生在學習中必然會有錯誤的體驗。

（七年級（上）《有理數的乘方》）中有這樣三個實例：

（1）某個細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個，經過5個小時，這種細胞由1個分裂成多少個？

（2）一張厚度為0.1mm的紙，將它對折1次后，厚度為2×0.1mm，對折2次后，厚度為多少mm？對折20次后厚度為多少mm？

（3）《棋盤上的學問》

這三個內容的計算，由于出現的數字很大，對學生來說是極易出錯的。在完成第（1）題時，學生能進行想象，并作出相應的計算。而對于第（2）個問題，學生卻很難相象了，所以經常出錯。因為我們很少有讓學生能對折20次甚至更多次的紙張，而且學生對于紙張厚度的概念是總是“很薄”。到了第（3）題，那就真的不可思意。這種錯誤的出現，有時會讓很多學生見了可怕，甚至受到打擊。

這時就要求我們老師能以寬大的胸懷去面對學生的錯誤。同時也要讓學生知道新知識的學習中允許錯誤存在。只要正確面對錯誤，我們就可以解決問題。當然，這個錯誤有時也會給予某些學生帶來興趣，讓他們感受到新知識所帶來的挑戰。

三、要有意識地設置錯誤嘗試

1、創設嘗試情境

我常將學生在學習過程中常出現的錯誤進行展示與評價。這樣在教學時就能讓學生從錯誤中吸取經驗，從而有效地控制錯誤的發生，提高學生學習效率。

例如，解方程+=1 時，很多學生常出現在去分母時右邊的1漏乘了公分母6這一錯誤。以此開展“找錯誤”的游戲可以讓學生對這一“錯誤印象”有更深了解，從而做到防患未然。也就是說，“學生的錯誤”能成為教師教學反思的最基本素材。

2、指導嘗試活動

在教學中，應合理引導進行有目的的嘗試，通過學生的嘗試活動，學會探求知識的方法，同時，鼓勵學生在探求過程中敢于發表自己的見解，勇于爭辯，使學生從中學會鑒別，駁謬，培養學生思維的批判性。

教學實例：（九年級（上）《根與系數的關系》）

設方程x2-2（m+2）x+2m2-1=0的兩根是x1，x2，且滿足x12=x22，求m的值。

這個問題是韋達定理的應用，當x12=x22時，很多同學直接把該條件看作x1=x2，這顯然是不正確的。

也有同學，將該式移項成為x12-x22=0，這時，粗心的學生卻以為x12+x22=0，而錯解。

經過判別，只有將x12-x22，=0化成（x1+x2）（x1-x2）=0時，將條件變成x1+x2=0或 x1-x2 =0時，m的值可求。

其實，讓學生通過自學與思考，去猜一猜，再找找其中的規律，最后再算一算，我們學生就能把好奇心轉化成求知欲，逐步培養自主學習，自我思考的習慣，這樣就能在多個嘗試中不斷突破。

3、進行嘗試練習

在嘗試練習中，應用反饋原理，使學生了解自己所學到的新知識，并強化對新知識的理解掌握。學生通過自學課本，掌握了解答嘗試題的方法，幾個同學板演，其他同學在練習本上做，教師檢查學生對新知識的掌握情況，使學生感到自學新知識并不困難，這樣就可以加快教學速度。嘗試題可以是一組連續性的思考題。

對七年級（下）《軸對稱圖形》），我設計了如下幾道嘗試題：

已知直線MN和MN同旁的兩點A和B

（1）求作A點關于MN的對稱點A′？

（2）A′B與MN交于點X，問AX+BX=A′B？為什么？

（3）同樣作B點關于MN的對稱點B′，連AB′與MN交于點X′，AX′+BX′= AB′？

（4）點X與X′是否一定重合？為什么？

（5）A′B與AB′是否是A點和B點與X間的最短距離之和？

（6）要在MN上求一點，使它到點A和點B的距離為最短，怎樣作圖？

按照這些問題為線索，引導自學課本，組織學生討論，進行嘗試練習。學生就不會因為新知識的出現而困惑，取而代之的是對新知識的追求與把握。

4、質疑嘗試障礙

可以采用小組討論的方式讓學生互相匯報嘗試自學的結果，同時提出疑難問題互相解決。教師不能輕易的對問題進行灌輸式講解，教師只講學生經過探索解決不了的問題，以排除思維障礙。教師要鼓勵學生大膽提出問題和自己解決問題，同時教師要為學生提供繼續學習的心理支持，要讓學生感受到教師就在“你的身邊”，可以隨時對你的學習提供幫助。

例如：在將“2008000”保留4個有效數字，多數答為“2008”，如讓學生把這一錯誤當作“貪污”笑料，就能在學生的笑聲中達到教育目的。

錯誤對于學生來說也是不可或缺的，是學生在學習過程中對所學知識不斷嘗試的暫時性結果。事實上，錯誤是正確的先導，成功的開始。有道是失敗是成功之母，學生所犯錯誤及其對錯誤的認識，是學生獲得和鞏固知識的重要途徑。

四、要將錯誤嘗試成為成功的密訣

（一）教師要適當放棄已有的習慣思維

某老師用《烏鴉喝水的故事》來教授體積的變化，為了引出物體投入水中能引起水位升高這一原理，組織學生討論：“烏鴉為什么喝不著瓶子里的水？”經過討論，絕大部分學生都認為原因有兩個：一是瓶子的口太小，烏鴉的嘴伸不進去；二是瓶子里的水太淺，烏鴉的嘴夠不著。但有一位學生有不同的意見：“是因為烏鴉的嘴太大了，伸不進瓶子。”教師一愣，隨之付之一笑：“坐下，再仔細想想。”學生滿臉不解地坐下。因為學生的回答和老師期望得到的答案不一樣。

其實上例中的教師在他的思維程序中早已經準備好一份標準答案，但卻被學生多維立體的發散思維打破了，教師以烏鴉作為參照物，確定瓶口太小，瓶內的水太淺了；而學生以瓶子作為參照物，認為是烏鴉的嘴太大了。同一答案的兩種不同表達方式，讓學生選擇了后者，沖破教師設置的思維圍墻，充滿自信又“固執己見”，這與教師對問題的理解形成強烈反差。這是因為，教師是成年人，經驗豐富，理解依靠理智的思考；而學生往往富于幻想，思維更具情感性、發散性和靈活性。

心理學家曾指出：“我們期望學生犯錯誤，因為從錯誤中吸取教訓，便可爭取明天的成功。”讓錯誤成為數學課堂教學的一個亮點。

（二）要鼓勵學生自我進行的反思

一位同學在“糾錯本”上記錄了如下信息（表一）：

我們可以從學生的自我分析發現，學生在對待錯誤中是主動的，能自我發現錯誤、改正錯誤。這對于教育目的來說它就是我們想達到的預期效果，教是為了不教。在這樣的一個過程中學生的心理活動是奮發向上的，自我完善的。

學生在學習中出現的錯誤未嘗不是一種收獲，它有積極的一面。它為我們學習提供了方向，為教學反思作了鋪墊。值得我們另眼相看。

錯誤不過是學生在數學學習過程中所做的某種嘗試，它只能反映學生在數學學習的某個階段的水平，而不能代表其最終的實際水平。此外，正是由于這些假設的不斷提出與修正，才使學生的能力不斷提高。因此，揭示錯誤也是為了盡量減少錯誤。

（三）開展多角度多方面嘗試探索

通過嘗試→錯誤→修正→逼近問題→問題解決，便于我們今后開展嘗試教學：

1、把課本中的基礎知識設計成有待于解決的好問題，易于學生嘗試與改善。

2、應該對現有習題的形式作些改革，適當補充一些應用題，配備一些非常規題、開放題和合作討論題。把習題改為“問題解決”的嘗試形式。

3、根據《課標》增加與實際問題相適應的數學內容。讓這些內容有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流。

4、將問題適當“開放”。讓問題應具有一定的現實意義，讓學發揮自己的創新能力與創造力。

“嘗試與錯誤”是我們教學過程中都會存在且互相牽制的兩個基本方面。盡管我們的教學是要教會學生學習，讓他們不犯錯誤或少犯錯誤，但如果能大膽嘗試錯誤，并從錯誤中學習，那么我們的教學更會充滿生機。

【作者單位：昆山市玉峰實驗學校 江蘇】