高中數(shù)學(xué)中的逆向思維解題方法探討

林海

在數(shù)學(xué)問題的解答過程中，有時(shí)從正面入手不易解決，我們不妨從問題條件或結(jié)論的反面或者對(duì)立面出發(fā)，也許會(huì)達(dá)到“正面困難重重，而反面則海闊天空”的境界.從反面或者對(duì)立面入手解決問題的這種思維方法就是逆向思維方法，反映在解證方法上就是反證法.

例1：已知在某20個(gè)城市之間共辟有172條航線.試證明：利用這些航線可以從這20個(gè)城市中的任何一個(gè)城市飛抵其余19個(gè)城市中的任何一個(gè)城市（包括中轉(zhuǎn)抵達(dá)的情形）.

分析：如果我們從正面入手排出這20個(gè)城市之間的172條航線，就會(huì)比較復(fù)雜.如果我們從問題結(jié)論的反面：20個(gè)城市中，存在一個(gè)城市A，由A僅能飛抵其余19個(gè)城市中的n（<19）個(gè)城市，那么問題便容易解決了.

證明：假設(shè)這20個(gè)城市中存在一個(gè)城市A，由A僅能飛抵其余19個(gè)城市中的n（<19）個(gè)城市.今將A及A能飛抵的n個(gè)城市歸入集合X，由A不能飛抵的19-n個(gè)城市歸入集合Y.于是，在分屬能飛抵其余19個(gè)城市中的n（<19）個(gè)城市而引起的.所以利用這些航線可以從這20個(gè)城市中的任何一個(gè)城市飛抵其余19個(gè)城市中的任何一個(gè)城市.

例2：從1000件產(chǎn)品中任意抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢查.假設(shè)這1000件產(chǎn)品中恰好有10件次品.記抽出的10件產(chǎn)品中至少有一件次品的事件為A，求A的概率P（A）.

分析：本題若從正面入手，抽出的10件產(chǎn)品中至少有一件次品這一事件A包含了抽出的10件產(chǎn)品中恰好有1件次品，恰好有2件次品，恰好有3件次品，……恰好有10件次品這樣10個(gè)事事0]即為所求.

分析：像這種某曲線上不存在任何兩點(diǎn)關(guān)于一條給定直線對(duì)稱的問題，學(xué)生大多感到很陌生，因此從正面入手很難找到解題思路.但學(xué)生一般都見過某曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于一條給定直線對(duì)稱的問題，因此，不妨從問題的對(duì)立面去考察.即考察橢圓C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)P、Q.但如果一般地設(shè)點(diǎn)求解，則因計(jì)算繁雜還是很難使問題獲解，不妨再逆向點(diǎn)視經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)的直線l′已知.