多種方法靈活求解平面向量問(wèn)題

劉勝男

平面向量高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中的難點(diǎn)，其解法涉及代數(shù)方法、幾何意義的應(yīng)用.常用方法如下：第一種方法，向量的轉(zhuǎn)化，即用其他向量（基底）表示所求向量；第二種方法，運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算；第三種方法，幾何意義（包括向量投影）的使用.三種方法各有利弊，轉(zhuǎn)化法比較直接，但有時(shí)容易迷失方向；坐標(biāo)運(yùn)算可以使解題難度降低，轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，部分題目條件充分時(shí)，可以嘗試建立坐標(biāo)系；而幾何意義的恰當(dāng)使用，會(huì)使解題變得更加直觀和快捷.

下面列舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，說(shuō)明向量方法的靈活運(yùn)用對(duì)解題及拓展數(shù)學(xué)思維的幫助.

標(biāo)并非數(shù)字，適用于第二種辦法.常用做法如下：

方法一：

本題還有另外一種解法，相對(duì)上述方法來(lái)說(shuō)不易想到，但是可以發(fā)展學(xué)生的思維.

方法二：

徑的圓上的任意一點(diǎn)；B為定點(diǎn).如下圖所示.

解析：

方法一：直接轉(zhuǎn)化.利用AB⊥AD，兩向量數(shù)量積為0.可以得到結(jié)果，但過(guò)程較麻煩.

過(guò)C作CE⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，

因?yàn)锳B⊥AD，所以Rt△DBA∽R(shí)t△DCE，

此題運(yùn)用數(shù)量積幾何意義，可將所求直接與已知條件相聯(lián)系，上述描述過(guò)程看似麻煩，但因?yàn)槭翘羁疹}實(shí)際運(yùn)算中不必書(shū)寫(xiě)過(guò)程，運(yùn)用向量的投影可減少運(yùn)算時(shí)間，提高運(yùn)算速度.

解析：本題較簡(jiǎn)單，用多種方法能順利求得結(jié)果.對(duì)比多種方法可以選擇最佳方法解題.

方法一：直接運(yùn)用公式.

由勾股定理，有AB⊥AC，

優(yōu)點(diǎn)：思考過(guò)程簡(jiǎn)單；缺點(diǎn)：向量方向需注意，夾角為鈍角，符號(hào)易錯(cuò).

方法二：轉(zhuǎn)化.利用垂直時(shí)，向量數(shù)量積為0.

方法三：建系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.

由勾股定理，有AB⊥AC，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AB分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系.

由AB=3，AC=4，則A（0，0），B（0，3），C（4，0），

優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單，方法也不難想到.明顯優(yōu)于上述另外兩種做法.

上述四個(gè)例子，從側(cè)面反映了在平面向量的解題過(guò)程中，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑫?huì)使解題難度和運(yùn)算量大幅度下降，可以為學(xué)生在考試中爭(zhēng)取更多時(shí)間.因此，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該注意多種思維方法的滲透，爭(zhēng)取一題多解，并多加分析和總結(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活使用各種方法的能力.