在數學教學中培養學生思維能力的實踐與探究

羅東華

隨著數學課程改革的不斷推進，其倡導的新觀念深刻地影響、引導著教師由重知識傳授向重學生思維能力培養轉變；由重教師“教”向重學生“學”轉變；由重結果向重過程轉變。學生的智力發展主要體現在思維能力的提高上，數學的抽象、直覺、想象等用以培養學生的思維能力的優勢，是其它學科不能相比和替代的。因此，數學不僅要教會學生掌握必要的數學知識，更重要的是通過數學知識的傳授培養學生良好的思維習慣，培養他們的思維能力。

一、創設情境，培養創造思維

學習的最好動力，是對學習材料的興趣。教師精心創設的問題情境，有利于調動學生的積極性，使之主動參與到教學活動中。為此，教師要在學習內容的趣味性、探究性、適應性和開放性上下功夫，留給學生足夠的活動時間和思維空間，從而激發他們的創新意識和能力。思維通常是由問題的情境產生的，在數學課堂教學中，應該積極創設問題情境，變傳授數學結論為知識發生發展的過程教學，使學生始終處于積極的思維之中。因此，在數學教學中，教師要盡可能地引入一些直觀、形象、生動的材料創設情境，營造氛圍。只有這樣才能較快地把學生帶入特定的環境中，激發興趣，調動學生思維的積極性。

例1：在“一元一次方程與實際問題”中，我是這樣創設情境的：東莞市兩大購物中心天虹和海雅為迎接五一，都進行促銷活動，其中天虹是全場物品打六折銷售，海雅百貨是實行買兩百送一百的活動，請問在標價一樣的情況下，到哪家購物更合算？（此例的情景有利于激發學生的求知欲望）

例2：推導平方差公式，可以組織學生由“數”向“形”探索，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖1），把余下的部分拼成一個矩形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以推出公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

在教師要求記憶的情況下，其實有些學生建立以公式本身的圖式表象為內容的條件反射：“（a+b）（a-b）”→“a2-b2”；而有些學生建立以聲音表象為內容的條件反射：“平方差公式”→“a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方”。 最后進行變式訓練。例如：

（a + b） （a - b） = a2 - b2

↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓

（2x+y） （2x-y）=（2x）2-y2=4x2-y2

由式子到式子的學習方式，割裂了數與式的關系。實際上，在初中數學里，式的本質是數，它是為了表示數而引入字母后的產物。通過此方式學習的學生并沒有真正建構起a和b的可變性觀念，大多數是由式子到式子，一見到超越變式訓練范圍的問題就不知如何是好，尤其是間隔了一段時間之后，這種學習盡管對一些常規的技能性問題是有效的，但仍然擺脫不了機械學習的影子，時間長了，知識多了，很容易與完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2混淆不清。其實，創造性思維能力的重點不是就解題而解題，而是使學生在做數學題中理解數學，培養應用數學的觀念，實現知識的延拓與創新。

由上述兩例可見，創設良好的問題情境是激發創造思維的有效方法。教師要善于把握學生的思維特點，在教學的重點、難點或關鍵處設計問題，創設情境，激發學生求知的欲望，啟動學生的思維，提高學生自主探究的能力。

二、合理類比，培養類比思維

類比是數學推理的常見手段，它的實質是根據兩對象之間的相似，把信息從一個對象轉移到另外一個對象。類比不僅在數學發現方面有著顯著作用，在解題教學、考察學生能力等方面也有顯著效果。一些數學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生舉一反三，由此及彼，靈活應用所學知識。

例3：在講二次函數的最大利潤問題時，我先講一元二次方程的利潤問題：某商品的進價為每件40元，售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；要想每周獲得6090元的利潤，該商品應如何定價？

解：設商品定價為x元，則單件商品利潤為（x-40）元，銷售量為[300-10（x-60）]件，根據題意得：6090=（x-40）[300-10（x-60）]。

我接著問學生，如果把“要想每周獲得6090元的利潤”改成“要想每周獲得y元的利潤”那又怎樣列式呢？采用類比思想，學生非常容易得出：y=（x-40）[300-10（x-60）]。接著又問學生，如果把“要想每周獲得6090元的利潤，該商品應如何定價？”改成“如何定價才能使利潤最大？”學生自然而然想到只要把這個二次函數進行配方就能解決這個問題。

例4：計算：■+■+…+■。

分析：原式的結構很容易聯想到數值計算中類似■=■-■的“裂項相消法”，結構上的這種相似性是解題思路的源泉所在。

解：原式=■+■+…+■

=■-■+■-■+…+■-■

=■-■

=■

綜上兩例可見，運用類比能拓寬學生的視野，啟發學生思維；運用類比，多方縱橫聯想，從而達到搭橋開路的作用；運用類比，使學生憑借以往的經驗、知識技能和思想方法，對新舊知識進行分析比較、探索、研究、發現其共同特點。抓住知識之間的內在聯系，順理成章，使學生有“瓜熟蒂落，水到渠成”之感，又創設了情境，發人深思。此外，類比還可以使學生的思維得到有效開發，提高思維的靈活性，使各部分知識相互變通，起到觸類旁通的作用。

三、聯想遷移，培養邏輯思維

想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。聯想是想象力的重要組成部分，培養聯想能力，是數學教育的重要任務，也是培養非邏輯思維的關鍵所在。

例5：關于x的不等式x-5+x-4

本題的基本方法是討論去掉絕對值，得出x-5+x-4≥1，因此得出a>1。如果聯想到絕對值的幾何意義，那么本題x-5+x-4就可以理解為“數軸上動點x到定點4和5的距離的和”，而此距離之和有最小值1。類似地，問題“x-5-x-4”又可以理解為“數軸上動點x到定點4和5的距離的差”。

舊知是思維的基礎，思維是通向新知的橋梁。由舊知進行聯想和類比，也是尋求正確思維方向的有效途徑。聯想和類比，就是把兩種相近或相似的知識或問題進行比較，找到彼此的聯系和區別，進而探究出問題的正確答案。

四、變式延伸，培養發散思維

創造能力=知識量×發散思維能力。思維的發散性，表現在思維過程中不受一定模式的束縛，從問題個性中探求共性，多角度、多層次去猜想、延伸、開拓，是一種不定勢的思維形式。變式延伸中的“一題多解”、“一解多題”、“一題多變”是訓練發散思維的有效途徑。

通過對一道題進行多方位、多層次、多角度的變式延伸，引導學生從一道習題抓住一類問題，從特殊問題抓一般問題，不但能激發學生學習的興趣，而且能使學生學會舉一反三，達到訓練思維能力的作用。所謂變式延伸就是通過將原題中的條件、結論、內容、圖形等作適當變換，解決一類問題的變化，逐步培養學生深入反思數學問題的習慣，善于抓住數學問題的本質和規律，進而培養學生的發散思維。

例6：求證：順次連結四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：順次連結任意四邊形各邊中點可以得到什么四邊形？并證明你的結論。

變式2：如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連結E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形。連結AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形。如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發現：

當四邊形ABCD的對角線滿足 時，四邊形EFGH為菱形；

當四邊形ABCD的對角線滿足 時，四邊形EFGH為矩形；

當四邊形ABCD的對角線滿足 時，四邊形EFGH為正方形。

本例題變式1的訓練條件具有開放性，變式2的訓練結論具有歸納性，使學生對中點四邊形的關系更清晰，思維訓練更豐富，基本達到了熟練論證特殊四邊形。教師應該讓學生充分認識例題本身所蘊含的教育價值，學會怎樣進行數學思維，怎樣運用數學知識進行思考、解題，如何表述自己的解題過程等等。教師只有充分地利用好例題，充分挖掘發揮例題的潛能，才能達到優化學生的認知結構，開闊學生的視野，活躍學生的思維，提高學生解題能力的目的。

數學的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，適當的變式延伸，可以給學生提供一座橋，讓學生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡。最近發展區把握得好，“變式”才能避免讓學生反復地練習同一題型，避免學生在低水平層次之間反復地重復，從而使學生的思維能力得到更寬、更廣、更深的培養。

綜上所述，對一道數學題或聯想，或類比，或推廣，可以得到一系列新的題目，甚至得到更一般的結論，積極開展多種變式題的求解，即使不能解決，也有助于學生應變能力的養成以及發散思維的形成，增強學生面對新問題的自主探究能力。使學生通過較少的練習獲得較大的收獲，不僅可以減輕學生負擔，切實提高教學質量，還可以通過題目的拓寬，加深變化，培養學生的創新思維，使學生在探索命題演變的過程中提高發散性思維。

總之，數學是一種文化，它既是諸多門學科的基礎與工具，又是一種思想方法。數學思維是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數學知識的發生、發展和應用的過程中。唯有讓學生在學習數學知識的同時掌握各種數學思維能力，才能為他們的自主學習和主動探究創造有利的條件。在教學過程中，學生是主體，教師要有意識地在教學中進行思維能力的培養。學生一旦掌握了各種數學思維，則可在較高層次上主動探求新知，數學素養也能得到穩步提高，從而為可持續發展打下堅實的基礎。

責任編輯羅峰