例談如何提高中學生的數學解題能力

顏一寬

波利亞說過，“中學教學的首要任務就是加強解題訓練”“掌握數學就是意味著善于解題”。如何提高中學生的解題能力，關鍵通過解決數學問題，來逐步培養學生的解題能力和拓展學生的思維。

在數學教學中，要提高學生的解題能力，除了抓好基礎知識、能力的學習與培養外，更重要的培養途徑就是解題實踐，下面將探討如何培養學生的解題能力的措施。

1. 熟練掌握基礎知識，為解題提供依據

數學上的定義、法則、公式、定理等，是解題的依據，教師在教學時應該加大重視的力度，要求學生做到爛熟于心的程度。在理解概念的基礎上認識到問題的實質，加深學生理解的層次。

例如，講“換元法”法時我們要幫助學生了解換元法的概念，認清換元的實質就是轉化。

例1. 已知實數x，y滿足：■-■=3，y4+y2=3，則■+y4的值為（）

A. 7 B. ■

C. ■ D. 5

思路分析：視■為一個整體不妨設為t（t>0）；視y2為一個整體不妨設為u（u>0），則■-■=3可化為t2-t-3=0解得t=■（t=■舍去）；y4+y2=3可化為u2+u-3=0解得u=■（u=■舍去），所以■+y4 =t2+u2=7，選A。

2. 養成認真審題、獨立思考的習慣

仔細、認真地審題是解題的前提。因為審題為探索如何解題的途徑提供了方向，培養學生的思維獨立，是每一個數學老師恒久不變的教學原則，告訴學生堅持獨立思考，獨立做題，你的分析能力和解決問題的能力會得到迅猛提高。

例如我在教二次函數時將例2和例3放在一起，幫學生如何審題。

例2. 已知函數y=（k-3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）

A. k<4 B. k≤4

C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3

例3. 已知二次函數y=（k-3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）

A. k<4 B. k≤4

C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3

例2與例3雖只相差兩個字，但例2所說的函數可能是一次函數，也可能是二次函數，而例3只可能是二次函數。例2、3答案分別為B、D。

3. 理順解題思路，規范敘述解題的過程

當拿到數學題，不僅僅要求獨立思考，還要在此基礎上把數學問題解答過程嚴謹地敘述出來，這對學生來說不是件容易的事，有著較高的能力要求，即敘述要正確、合理、嚴密、簡潔。一般來說，各種形式的數學習題都有一定的解答格式，無論哪種格式，敘述都應層次分明，條理清楚，表述要規范。

例4.已知關于x的方程■+■=■恰有一個實根，則滿足條件的實數a的值。

思路分析：對于分式方程，我們要注意增根的問題。因此只有一個實根卻要多次討論和驗證。

解：題中的等式可化為2x2-2x+（4-a）=0， （1）

當方程有兩個相等的實數根時，Δ=4-4×2×（4-a）=0。

由此得a1=■，此時方程（1）有一個根x=■。驗證可知x=■的確滿足題中的等式。

當方程（1）有兩個不相等的實數根時，Δ=4-4×2×（4-a）>0，由此得a>■。

若x=0是方程（1）的根，則原方程有增根x=0。代入（1）式解得a2=4>■。此時方程（1）的另一個根x=1，它的確也滿足題中的等式。

若x=2是方程（1）的根，則原方程有增根x=2。代入（1）式解得a2=8>■。此時方程（1）的另一個根x=-1，它的確也滿足題中的等式。

因此a1=■，a2=4，a2=8共有3個實數a滿足題意。

4. 重視方法的傳授，加強解題思維培養

教學中要特別重視基本數學方法的傳授，這樣才能從根本上提高學生解題思維水平。

例5.如圖所示，C，D是以AB為直徑的半圓上的三等分點，半徑為R，求圖中陰影部分面積.

思路分析：我們知道三角形、梯形等特殊圖形的面積公式，對于不規則圖形則要通過“割割補補”的辦法變為上述特殊圖形求解。本題我們可以通過S陰影=S扇形OAD- S弓形AC-SΔOAD和S弓形AC=S扇形OAC-SΔOAC求出。答案為■πR2。

5. 注重一題多解，促進學生思維的發散

在中學數學教學中，學生掌握知識、技能的水平，主要表現在解題上，尤其是一題多解，在數學解題中有著舉足輕重的意義。它不僅能加強知識間的橫向對比，而且是培養學生思維的靈活性，激發學生聯想，推測和創新的方法之一。因此，經常善于一題多想，一題多解，能使學生思路開闊，思維靈活，能從不同角度分析問題，進而選擇最佳方案解決問題，使學生選擇運用知識的方法由零散呆板轉向系統靈活，提高解題的速度和準確度。同時，還有助于激發學生學習數學的興趣，極大限度地調動了學生思維的積極性。

例6.求函數y（x）=x+■（x>0）的值域。

我們可以用（1）判別式法，設y=x+■，則x2-yx+1=0，由Δ=y2-4≥0？圯y≥2。

當時y=2，x2-2x+1=0？圯x=1， 因此當x=1時，y（x）=x+■（x>0）有最小值2，即值域為[2，+∞。也可以用（2）單調性法；（3）配方法；（4）基本不等式法等等。

6. 勤于總結解題方法，加強解后反思

解題后的反思是提高解題能力的一種重要途徑。所以，解數學題絕不能解一題丟一題，這樣無助于解題能力提高，還會使學生養成不善于總結和反思的習慣。學生一旦養成反思的良好習慣，綜合運用知識的能力不但大大增強，而且也會促進其它良好習慣的養成。

例7.如圖， 某橋的橋拱是圓弧型，已知它的跨度BC為20■米，拱高AD為10米，求橋拱所在的圓的直徑。（答案40米）

例8.如圖，BC是⊙O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線DE平分AC于E，求證：AC是⊙O的切線.（證明略）

上述這兩個例題實際上是圓中常見的題型，考查點（重點）都是圓心、半徑或是直徑所對的角是直角及勾股定理的運用等。例7實際上就是考查RtΔOCD或是RtΔOBD；例8連結DC，考查∠BCD=∠ADC=90°。

中學生解題能力的提高是一個潛移默化的過程，是在親自參與解題實踐中不斷提升的過程，教師在數學教學過程中應當注意結合自己班級的實際情況，“以人為本”，關注學生的實際學習情況，進行不斷反思，從而有效地提高學生的數學解題能力。誠然，要提高學生的數學解題能力，關鍵在于教師平時的引導，使其形成良好的學習習慣，掌握科學有效的學習方法和養成良好的思維品質，數學的解題能力也將會在持久的努力中越來越高。

責任編輯徐國堅