由一道高考題看數學變式教學

鄧謙棠

縱觀每年的高考試卷，我們都可以發現許多“似曾相識”的題，其實，他們都是從課本上的習題變式而來。那么，怎樣進行課本習題的變式教學呢？這是我們每個數學教師必須認真思考的問題，下面我將與大家一起來就習題變式教學談談自己的看法。

1. 變式教學的目的

高中數學學習的內容跨度大、抽象性強，只有促進高中生對數學知識的深刻理解，才能達到掌握和靈活運用數學知識的目的。在數學學習中，教師通過變式教學，可以把一個看似孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成一個有規律可行的系列，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解此類問題的思路和方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性，培養學生獨立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養學生的創新意識以及創造性的邏輯思維方式。同時，通過變式教學，學生不需要做大量地、重復地同一種題型的練習，減輕了學生的學業負擔，提高了學習效率。

2. 變式教學的方法

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據，要教得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用”。教材是教學的重要資源，課本中的每一個例題和習題都是經過“千錘百煉”的，有很高的教育價值，因此在教學中我們要精心設計和挖掘課本的例題和習題，編制一題多變、一題多解、一題多用和多題一解，以提高學生靈活運用知識的能力。下面以課本《數學》必修4第91頁的第6題為例，談談習題變式教學的方法。

原題：已知向量■，■，求作向量■，使■+■+■=0.表示■，■，■的有向線段能構成三角形嗎？

分析：如圖1，設■=■，■=■，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，由向量加法的平行四邊形法則可知■+■=■，即■=■.顯然，當■，■不共線時，表示■，■，■的有向線段能構成三角形。

2.1 創設新情境，培養學生思維的靈活性

創設新情境是指把條件放在一些特殊的情境中，使問題得以深化.而且，在新的情境中，解決問題的方法不僅僅拘泥于原題的方法，這就要求學生有扎實的基礎，有變通的能力，培養了學生思維的靈活性。

變式1：如圖2，已知向量■，■，■滿足條件■+■+■=■，則點M是ΔABC的_____心（選填“內”“外”“重”“垂”）。

分析：

方法1：以MB，MC為鄰邊作平行四邊形MBDC，設平行四邊形MBDC的對角線MD、BC交于點E，則E為BC的中點，由■+■=■=2■，由■+■+■=■得■+■=-■，即■=-2■，所以M，A，E三點共線，且■=2■，所以M點是ΔABC的重心。

方法2：以M為坐標原點建立平面直角坐標系，設A（x1，y1）、 B（x2，y2）、C（x3，y3），則■（x1，y1）， ■（x2，y2），■（x3，y3），由■+■+■=■得（x1+x2+x3， y1+y2+y3）=（0， 0），所以點M可表示為（■，■），即點M是ΔABC的重心。

變式2：設P是平面ABC內任意一點，若■=■（■+■+■），則G是ΔABC的___心（選填“內”“外”“重”“垂”）。

分析：由■=■（■+■+■）可知■+■+■-3■=■，即（■-■）+（■-■）+（■-■）=■，即■+■+■=■。

由變式1可知，G是ΔABC的重心。

變式意圖：與原題相比，變式1是在ΔABC中根據條件■+■+■=■來研究點M的性質，其本質還是運用向量加法的平行四邊形法則，并未發生大的改變，但創設ΔABC這個新的情境，就可以利用坐標法來解決問題。變式2在變式1的基礎上再次變換了新情境，要求學生適當變形，靈活處理，拓寬了學生的思維，使得學生思維的靈活性得到提高。

2.2 增加新條件，培養學生思維的創造性

增加新條件是指在原題的基礎上，增加更多的限制性條件，使題目的難度層層遞增，這要求學生在深層次地理解原題的解題思路上，拓展思維，舉一反三，培養了學生思維的創造性。

變式3：已知向量■，■，■滿足條件■+■+■=■，■+■+■=1，求證：ΔP■P■P■是正三角形。（必修4第120頁復習參考題（B組）第5題）

變式4：已知向量■，■，■滿足條件■+■+■=■，且■·■=■·■=■·■，求證：ΔP■P■P■是正三角形。

變式意圖：變式2和變式3都是在變式1的基礎上增加一個條件，考查了學生對三角形的重心、外心和垂心的掌握情況，題目的難度層層遞增，符合學生的思維方式，提高了學生思維的創造性。

2.3 變換新角度，培養學生思維的發散性

變換新角度是指把原題的條件和結論變動和加深，但知識點不離開原題的范圍。這要求學生在掌握原題的基礎上，能夠發散思維，能夠逆向地去考查問題，分析問題，培養了學生思維的發散性。

變式5：設M是ΔABC的重心，則■+■+■=_______。

變式6：若ΔP■P■P■是正三角形， 向量■，■，■滿足條件■+■+■=1，求證：■+■+■=■。

變式7：已知向量■，■，■兩兩所成的角相等，且滿足■+■+■=1，求證：■+■+■=■。

變式意圖：變式5是變式1的逆運算，變式6和變式7都是變式3逆運算.針對這幾個問題，我們要引導學生變換思維的角度，運用數形結合的思想來解決問題，使得學生對數學知識有一個全方位、多角度的認識，提高了學生思維的發散性。

3. 變式教學的價值

通過變式教學，引導學生在認識事物本質屬性的過程中，不斷變更事物的非本質屬性，不斷產生新的問題情境，誘發學生在不同的條件下，從不同的角度去思考問題，克服思維定勢的不足，突破舊的思維模式.因此，在高三復習課中，教師要從不同角度、不同側面、不同背景來進行變式教學，把學生的思維引向新的高度，從而讓學生面對高考題有種“似曾相識”的熟悉感，提高了高三的復習效果。

著名的教育家波利亞曾說過“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”由此看出，在數學教學中，教師應該有意識地引導學生研究課本中的一些典型問題，通過創設新情境、增加新條件、變換新角度等多種途徑，挖掘習題潛在的數學價值，同時，通過變式教學有利于培養學生的思維的靈活性、創造性、發散性，有益于培養學生的應變能力和獨立思考問題、解決問題的能力.當然，變式要做到“源于課本，高于課本”，更要注意恰當合理、循序漸進、緊扣考綱，只有這樣，才能即減輕了學生的負擔，又提高了高考復習效果。

責任編輯徐國堅