“說數學”運用于高三復習課的案例分析

許娜

“說數學”是指教師在課堂上創設機會讓學生介紹解題思路、總結解題經驗，鼓勵學生發表自己對數學問題的不同見解.“說數學”是數學交流的重要形式之一，它包含“說知識”“說過程”“說異見”和“說體會”四個環節.本文以《等差數列復習》一課為例，淺析“說數學”理念在復習課的重要意義.

課堂教學過程簡述

《等差數列復習》這一課的內容安排：①知識梳理，包括等差數列的定義，通項公式，前n項和公式，簡單的性質等；②基礎訓練，主要是關于a1，d，n，an，sn的計算問題，目的是熟悉公式，體會方程思想的應用以及訓練計算速度；③題型示例，設計以下兩個例題：

例1：已知an是等差數列，其中a1=31，公差d=-8.（1）求數列an的通項公式，并作出它的圖像；（2）數列an從哪一項開始小于0？（3）求數列an前n項和的最大值，并求出對應n的值.

本例題的設計意圖是讓學生從解析式的形式和圖像兩方面體會數列與函數的聯系，使學生理解數列是一類特殊的函數，學會用函數的思想解決數列問題.

例2：已知等差數列an的前n項和記為Sn，公差d>0，且滿足a2a3=45，a1+a4=14.（1）求數列an的公差d 的值；（2）令bn=■，若數列bn也是等差數列，求非零常數c的值.

本例題的設計意圖是讓學生理解等差數列的概念，經歷由一般到特殊的演繹推理過程，培養邏輯思維能力.

例題教學普遍采用講練結合模式，即學生先做，再由教師講解思路，學生再進行鞏固訓練.而“說數學”的模式，則是學生先做題，再由學生上臺展示解題思路及書寫過程，然后由學生總結知識點和解題方法.教師的作用是組織、引導和評價.以下是學生“說數學”的過程記錄：

學生A投影了例1的解題過程，并簡單講了解題思路：“由于首項和公差已知，直接代入公式就得到通項了.作出圖形是這樣的一些點（指出他作的圖形）.”我對學生A提出問題：“你描的這些點是散亂無章的嗎？有規律嗎？”A生答：“這些點都在直線y=-8x+39上.”我繼續追問：“那你為什么不把這些點連成直線呢？”A生遲疑片刻，很肯定地說：“不能連成直線，因為n的取值是正整數，圖像不是連續的！”臺下的學生，有不少是把圖像畫成直線的，這時都“恍然大悟”.于是我及時給予了A 肯定的評價：“很好！A同學充分理解了等差數列的通項公式與一次函數的聯系，注意到了數列是一類特殊的函數，他的解答是完全正確的.”A生繼續講解第（2）小題：“由圖像上我們可以看到，這個數列前4項都是正的，從第5項開始就變成負數了，那么它的和應該從第5項開始變小了，所以S4是最大的，最大值是76.”我對A 生評價：“你的想法很有道理，表達得也很清楚，大家都聽懂了.但我有個疑問，如果沒有作圖，這道題該怎么解呢？”A生想了想說：“主要是找出從哪一項開始，項變成了負數，可以令an<0，解不等式解出n來！”我更進一步：“你能否總結一下一般性的解題方法？”A生感到困難，停頓下來，有點不知所措.臺下的學生議論聲更大了.稍后我進一步啟發：“對一個等差數列來說，它具備怎樣的性質，它的前n項和才有最大值呢？”臺下學生搶答：“數列是遞減的！”A生補充：“d<0.”“很好！那么我們怎樣找到使Sn取最大值的那一項？怎樣用式子表示？”A生：“如果an≥0，an+1<0，那么第n項就是使Sn取最大值的那一項.”“非常好！那么對于Sn取最小值的情況，你也可以總結出來了吧？”A生很有信心地說：“如果d>0，數列是遞增的，若an≤0，an+1>0，則第n項是使Sn取最小值的那一項.”A生的回答非常準確，而且與剛上臺相比，他的自信心有了很大提高，語言表達非常流暢.臺下的學生自發為他鼓掌.我對A生的表現給予了中肯的的評價，請他回到座位.至此，這道題已經解完，并且由學生自己總結出了解題方法，效果不錯.但是，“說數學”的環節并沒有結束，我的教學目標也還沒完全達到.接下來，我鼓勵學生提供不同的解題方法，然后從知識和方法兩方面來給這道題做個小結.B生考慮了一會，結結巴巴地說：“這道題涉及到的知識有等差數列的通項公式，前n項和公式，一次函數、二次函數的圖像等，方法、第（2）題方法，我的方法是利用二次函數的性質.”雖然他講的不是十分全面，但畢竟邁出了第一步，我大力地表揚了他，希望他得到鼓勵，逐漸學會并習慣于自我總結與反思.以上的教學過程，基本實施了“說數學”的四個環節——說知識、說過程、說異見、說體會.在學生說的過程中，教師注重啟發，注重評價，學生的學習熱情被激發，在例2時有更積極主動的表現.

以下是例2的“說數學”過程：

學生C：在等差數列an中，a1+a4=a2+a3=14，又已知a2a3=45，那么a2、a3可看作方程x2-14x+45=0的兩根，容易解出a2=5，a3=9或a2=9，a3=5.題目條件有d>0，所以應取a2=5，a3=9由此可得d=4.第（2）問我們可以先求Sn，由d=4，可求得a1=1，因此Sn=na1+■d=2n2-n，那么bn=■，如果bn是等差數列，那bn應該是一次函數，所以將bn變形為bn=■，觀察可知當c=-■時，bn是等差數列.

教師：C同學的講解非常清楚，解題過程的書寫也很規范，對于第（1）問，他的解法巧妙運用等差數列的性質，使得計算過程很簡便.但是我觀察到第（2）問你的解答過程有涂改的痕跡，你能跟大家說說是怎么回事嗎？

學生C：我一開始想用2bn= bn-1+bn+1來計算c，代進去發現太復雜了，所以放棄了.

教師：很好，C同學在思路受阻的時候懂得另辟蹊徑，從函數的角度去研究這個問題，說明他很有鉆研精神，而且思維很活躍.那么，對于他現在的思路，你們認同嗎？

很多學生露出懷疑的表情，議論紛紛，我請學生D發表看法.

學生D：我覺得他的做法有道理，但是好像不太全面，c會不會有其它取值呢？

教師：D同學的問題提得太棒了！c=-■是觀察出來的，它只是bn為等差數列的一個充分條件，c還有別的取值嗎？你們有辦法解決這個問題嗎？

學生E主動要求上講臺講解，由于還沒來得及把過程寫在學案上，E生要求板書.

學生E：如果bn是等差數列，那么必定有2b2=b1+b3，這是它的必要條件，這樣求出來的c肯定正確.并且這個式子很簡單，很容易求.

教師：E同學的想法非常好，他用特殊代替一般，使計算得以實施，求出了c值，這個c值不會有遺漏.但是他說這樣求出的c“肯定正確”，你們認同嗎？

學生F：他剛才說這是bn為等差數列的必要條件，對b1、b2、b3是成立的，那能說明對所有的正整數都成立嗎？

教師：很好！F同學想得很周到，這個問題怎么解決呢？

多名學生：證明bn是等差數列！

教師：對！通過證明，我們就能保證“當c=-■時，bn是等差數列”這個命題的正確性.下面，請同學們把這道題的完整的解題過程寫在學案上.

（證明過程略）

案例分析

1. “說數學”有助于復習目標的達成

本節課由于給了較多的時間給學生展示、質疑、交流，只完成了一組基礎訓練題和兩道例題，從傳統意義上講，似乎容量不足.但這一組習題、兩道例題所涉及的知識基本覆蓋了本節所要掌握的重要知識點，而解決方法則體現了本節最重要的數學思想——方程思想和函數思想.學生對這些知識和思想方法掌握得如何呢？在“說知識”的過程中，學生經歷了腦中歸納整理和口頭表達的過程，對相關知識點印象深刻.而思想方法，是學生自己在解題過程中先體會，再在教師引導幫助下總結并用語言表達出來.建構主義學習理論提出“學生要成為意義的主動建構者”，因此思想方法不是教師灌輸的，應是學生自己的體會.教師的作用是幫助他們將腦海中模糊的概念清晰化，形成文字或語言，使之能進行交流和共享.本節課的“說數學”各環節，正是基于這樣的目的來設計.因此，盡管這節課花的時間多，做的題不多，但是復習目標達成度高，復習效果較好.

2.“說數學”有助于教學信息的及時反饋

“說數學”的方式，使學生有一個展示自己的平臺，通過投影作品和口頭講解，他們的思維過程完全暴露出來.這種及時、快速的信息反饋，無論對教師還是對其他學生，都意義非凡.對臺下學生來說，了解其他同學的想法，對自己是一種啟發.同時，因為臺上講解的是自己的同學，不是權威人物，使得他們更有質疑的興趣.這種質疑，成為了他們積極思考的動力.對教師而言，及時地了解才能“對癥下藥”.下一步的教學策略怎么調整，怎么啟發，怎么設計問題，都建立在學生的信息反饋上.本節課例2的教學過程中，學生C的第（2）問的解答思路是我沒有預計到的，如果沒有學生C的展示，我不會知道其實很多學生都是這種做法，也就不會有后面的質疑和辨析.

責任編輯羅峰