在教學中培養學生的模型思想

陳幼真

新課程標準很多地方提到模型思想，它應當是數學教學的核心主題。培養學生的模型思想離不開問題情境，離不開應用驗證；培養學生的模型思想，離不開老師的耐心引領，老師的引領體現在用教材教而不是教教材。

史寧中教授在《數學思想概論》中提出這樣的觀點：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。”抽象、推理、模型這三個重要思想，分別從數學的產生、數學內部的發展、數學與外部關聯三個維度上影響著數學的發展。可見，模型思想是一種數學的基本思想。

模型思想的內涵牽涉到三個對象：數學模型、數學建模、模型思想。

數學模型是溝通數學與現實世界的橋梁，數學得到的一些結果要應用于現實世界，就要通過數學模型來實現。

什么是數學模型？所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構。即用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式及各種圖表、圖形等都是數學模型。數學模型有兩個主要特點：第一，它是經過抽象舍去對象的一些非本質屬性以后所形成的一種純數學關系結構；第二，這種結構是借助數學符號來表示，并能進行數學操作的結構。

數學建模，就是通過建立數學模型的方法來求得問題解決的數學活動過程。數學建模的過程本質上就是“數學化”的過程。

建立和求解模型的過程有三個環節：首先是“從現實生活或具體情境中抽象數學問題”，然后“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”，最后“通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義”。

模型思想的本質就是以數學的眼光看待外部世界、應用數學解決外部世界問題的思想。它強調了數學與外部世界的聯系，體現了應用數學解決問題的意識。

培養學生的模型思想離不開問題情境，離不開應用驗證。例如，學習了“雞兔同籠”這一方程（組）模型后，我布置學生在周邊的生活環境中找“雞兔同籠”的模型，并嘗試自己建立模型，求解驗證。學生很快聯想到商貿市場中的鞋襪店、服裝店、手袋店等等。根據鞋襪的單價、總價、總數量，可以求出鞋襪各自的數量……

培養學生的模型思想，離不開教師的耐心引領。老師的引領體現在用教材教而不是教教材。如學習《數軸》這一課，我創設這樣的引言：“同學們要比高矮，有兩種方法。一是大家排成一隊，然后調整高矮次序；二是大家量下身高，再比較刻畫同學們身高的厘米數。現在我們所學的數擴充到有理數，有理數的家族成員，它們也想知道自己的大小，怎么辦呢？”

一言激起千層浪！同學們的思維被調動起來。“哦，我們也把它們排成一隊”“哦，我們也給它們一把尺子，比比它們的大小。”但這把尺子跟量身高的尺子肯定有不同的地方。身高沒有負數，有理數有負數，大家說怎辦？根據解決問題的需要，同學們借助尺子的樣子創造出一把新尺子——數軸。教材中的數軸模型是溫度計，原點和正負數（即正方向）、單位長度都已具備，就是說數軸的三要素是直接給出的，沒有創造的過程。

我之所以說是學生創造出數軸，那是為了解決正負數如何排列，先要有一個分類的想法，從而規定直線上向右的方向為正方向；正負方向從哪個點發生，這個點就是起始點，即原點；比較數的大小同樣要有統一的單位，又要求我們要先規定單位長度。

部分學生很自然地創造出一條鉛直位置上的數軸，取向上的方向為正方向，我給予充分的肯定。原因是：只有水平位置的數軸，容易給學生一種錯誤的定勢，以為數軸只能平放。這會給后繼學習“平面直角坐標系”造成障礙。“平面直角坐標系”的學習要用上鉛直位置上的數軸，從初學數軸開始就讓學生對水平位置、鉛直位置上的數軸有感性的認識，能為往后的學習打好基礎，起碼不陌生。

數軸這一數學模型的構建離不開學生的生活實際，具體到分類、比身高等等情境。最后抽象出數軸三要素：原點、正方向、單位長度，并明確三要素缺一不可。整個構建過程是水到渠成，沒有半點牽強。

模型思想的提出為數學教學注入新的活力，幫助學生初步形成模型思想的核心是“數學建模”活動，“數學建模”的過程既是應用數學的過程又是發展數學的過程。

責任編輯潘孟良