淺談數列求通項的常用方法

王宜佳

近年來的高考題中經常出現給出數列的解析式（包括遞推關系式和非遞推關系式），求通項公式的問題，對于這類問題考生感到困難較大.為了幫助考生突破這一難點，下面就如何求數列的通項來談談自己一些看法。

一、給出數列的前幾項，通過前幾項觀察、分析、比較等得到數列的通項公式。

此類型一般通過下面幾種方法能得出：①運用觀察法寫出數列的一個通項公式，體現了由特殊到一般的思維規律。通常需要經過結構變形，如加（減）某數、拆分（和、差、積）項等分離出變量和不變量，直到發現規律。②熟記一些常見數列。③數列不一定都有通項公式，即使有，也不一定惟一。

二、由題目已知或通過簡單推理判斷可知，所求數列是等差數列或等比數列，則直接用其通項公式求通項。

此類型一般能根據題目提供的條件求出相應的數列基本量（用已知條件轉化成求關于a1、d、q的方程），便可得到通項。

三、已知數列的前n項和Sn，利用an=a■=S■，n=1S■-S■，n≥2求數列的通項。

此類型通常利用Sn和an的關系，將Sn和an的遞推轉化成an、an+1或an-1的遞推。

四、題目中給出形如an+1=an+f（n），a1=a（其中a為常數）的遞推關系或者可化成此關系。則a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），…，an-an-1=f（n-1），各式相加，得an=a1+■f（k），即為累加法求數列通項公式。

五、 根據題目中給出的遞推關系a■=f（n）a■，a■=a（其中a為常數），

由遞推式得a■=f（1）a■，a■=f（2）a■，…，a■=f（n-1）a■，各式相乘，得a■=a■■f（k），即為累乘法求數列通項公式。

六、由遞推關系a■=pa■+q，a■=a（其中p，q，a為常數且p≠1），求數列通項。

令a■+？姿=pa■+？姿，整理得a■=pa■+p-1？姿，所以p-1？姿=q，即？姿=■，從而a■+■=pa■+■，所以數列a■+■是等比數列。

七、由遞推關系a■=pa■+f（n），a■=a（其中p，a為常數且p≠1，f（n）為非常數），求數列通項。

由遞推式a■=pa■+f（n）兩邊同除以pn+1，得■=■+■，對此采用前面所述的累加法可求。

八、由遞推關系a■=pa■+qa■（n≥2）a■=a，a■=b（其中p，q，a，b為常數），求數列通項。

若p+q=1時，p=1-q，即a■-a■=-qa■-a■，知a■-a■為等比數列，對此采用累加法可求。

九、利用倒數變形，把形如a■=■的式子，兩邊取倒數后換元轉化，求數列通項。

例. 數列{an}滿足：a■=■，且a■=■（n≥2），求an。

解析：將條件變為：1-■=■1-■，因此1-■為一個等比數列，其首項為1-■=■，公比■，從而1-■=■，據此得a■=■。

等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，而數列的通項是高考考查的熱點，考查的目的在于測試靈活運用知識的能力，這個“靈活”往往集中在“轉化”的水平上，以上談到的是常見求數列通項的基本方法，需要不斷的探索才能靈活的應用。

責任編輯徐國堅