論高中數學教學中學生思維培養的重要性

陳星東

本人所在的學校東江中學，是市重點高級中學，生源參差不齊。由于初高中銜接不夠好，學生進入高中之后，不能適應高中階段的數學學習，尤其表現在思維品質上，與高中學習要求有較大差距，成績不夠理想。究其原因：由于初中數學教材的編排，以及受升學考試指揮棒的影響，在教學過程中只注重知識的傳授，而忽視了對學生思維能力的培養。

新教材以建構主義為理論基礎，強調學生的學習經歷和社會背景，要求在原有的認知結構基礎上，建構新的更高一級的認知結構，目的在于發展學生的思維能力，而把知識作為思維過程的材料和媒介。只有把掌握知識、技能作為中介來發展學生的思維品質才符合素質教育的基本要求。數學知識可能在將來會遺忘，但思維品質的培養會影響學生的一生，思維品質的培養是數學教育的價值得以真正實現的理想途徑。

思維品質主要包括思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、深刻性、獨創性和批判性等幾個方面。思維的靈活性是建立在思維廣闊性和深刻性的基礎上，并為思維敏捷性、獨創性和批判性提供保證的良好品質。在人們的工作、生活中，照章辦事易，開拓創新難，難就難在缺乏靈活的思維。所以，思維靈活性的培養顯得尤為重要。

如何使更多的學生思維具有靈活特點呢？我在教學實踐中作了一些探索：

一、以“發散思維”的培養提高思維靈活性

美國心理學家吉爾福特（J·P·Guilford）提出的“發散思維”（divergent thinking）的培養就是思維靈活性的培養。“發散思維”指“從給定義的信息中產生信息，其著重點是從同一的來源中產生各種各樣為數眾多的輸出，很可能會發生轉換作用。”

在當前的數學教學中，普遍存在著比較重視集中思維的訓練，而相對忽視了發散思維的培養。發散思維是理解教材、靈活運用知識所必須的，也是迎接信息時代、適應未來生活所應具備的能力。

1. 引導學生對問題的解法進行發散。

在教學過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養學生思維過程的靈活性。

<例>求證：■=tanθ。

證法1：（運用二倍角公式統一角度）左=■=■=右。

證法2： （逆用半角公式統一角度） 左=■=■=右。

證法3：（運用萬能公式統一函數種類）設tanθ=t，左=■=■=t=右。

證明4：∵tanθ=■（構法分母sin2θ并促使分子重新組合，在運算形式上得到統一），∴左=■=■=右。

證法5：由正切半角公式tanθ=■=■，利用合分比性質，則命題得證。

通過一題多解引導學生歸納證明三角恒等式的基本方法：（1）統一函數種類；（2）統一角度；（3）統一運算。

一題多解可以拓寬思路，增強知識間聯系，學會多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。

2. 引導學生對問題的結論進行發散。

對結論的發散是指確定了已知條件后沒有現成的結論。讓學生自己盡可能多地探究尋找有關結論，并進行求解。

<例>已知：sinα+sinβ=■（1），cosα+cosβ=■（2），由此可得到哪些結論？

讓學生進行探索，然后相互討論研究，以得到多種不同的答案。

想法一：（1）2+（2）2可得cos（α-β）=-■（兩角差的余弦公式）。

想法二：（1）×（2），再和差化積：sin（α+β）[cos（α-β）+1]=■，結合想法一可知：sin（α+β）=■。

想法三： （1）2-（2）2再和差化積：2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=-■，結合想法一可知：可得cos（α+β）=-■。

想法四：■，再和差化積約去公因式可得：tan■=■，進而用萬能公式可求：sin（α+β）、cos（α+β）、tan（α+β）。

想法五：由sin2α+cos2α=1消去α得：4sinβ+3cosβ=■，消去β可得4sinα+3cosα=■（消參思想）。

想法六：（1）+（2）并逆用兩角和的正弦公式：sin（α+■）+sin（β+■）=■。

（1）-（2）并逆用兩角差的正弦公式：sin（α-■）+sin（β-■）=■。

開放型題目的引入，可以引導學生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關系。要根據條件運用各種綜合變換手段來處理信息、探索結論，有利于思維起點靈活性的培養，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創造力的培養。

二、以思維靈活性的提高帶動思維其他品質的提高，以思維其他品質的培養來促進思維靈活性的培養

由于思維的各種品質是彼此聯系、密不可分的，處于有機的統一體中，所以思維其他品質的培養能有力地促進思維靈活性的提高。

1. 思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現象中發現本質，是否善于從事物之間的關系和聯系中揭示規律。

<例>方程sinx=lgx的解有（ ）個。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

學生習慣于通過解方程求解，而此方程無法求解常令學生手足無進。若能運用靈活的思維換一個角度思考：此題的本質為求方程組y=sinx，y=lgx的公共解。運用數形結合思想轉化為求函數圖象交點問題，尋求幾何性質與代數方程之間的內在聯系。通過知識串聯、橫向溝通牢牢抓住事物的本質，在思維深刻性的基礎上，思維靈活性才有了用武之地。

2. 思維的廣闊性是指善于抓住問題的各個方面，又不忽視其重要細節的思維品質。要求學生能認真分析題意，調動和選擇與之相應的知識，尋找解答關鍵。

<例>已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x=-1，在x軸上截得線段長為4，求拋物線方程。

解法一：截距為3，可選擇一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0），

顯然有c=3，利用其他條件可列方程組求a，b值。

解法二：由對稱軸為直線x=-1，可選擇頂點式方程：y=a（x-m）2+k（a≠0），顯然有m=-1，利用其他條件可列方程組求a，k的值。

另外，由圖象對稱性可知x軸上交點為（1，0）和（-3，0）。

解法三：由截距為3，即過三點（0，3）、（1，0）和（-3，0），可選擇一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0），代入點坐標，列方程組求a，b，c值。

在把握整體的前提下，側重某一條件作為解答突破口，在思維廣闊性的基礎上，充分運用思維靈活性調動相關知識、技能尋找解題途徑。

3. 思維的敏捷性指思維活動的速度。它的指標有二個：一是速度，二是正確率。具有這一品質的學生能縮短運算環節和推理過程。思維靈活性對于思維速度和準確率的提高起著決定性作用。

<例>相鄰邊長為a和b的平行四邊形，分別繞兩邊旋轉所得幾何體體積為Va（繞a邊）和Vb（繞b邊），則Va∶Vb=（ ）

A. a∶b B. b∶a C. a2∶b2 D. b2∶a2

用直接法求解：以一般平行四邊形為例。如圖，可求：

Va=πab2sin2θ，Vb=πa2bsin2θ，則Va∶Vb=b∶a，由于要引入兩邊夾角θ來求解，學生常無法入手。若以特殊的平行四邊形——矩形來處理，則相當簡便。

此題解法充分體現了思維靈活性，以簡馭繁，用特殊化思想求解，解題迅速、正確。

三、靈活新穎的教法探求和切實可行的學法指導

教師的教法常常影響到學生的學法。靈活多變的教學方法對學生思維靈活性的培養起著潛移默化的作用，而富有新意的學法指導能及時為學生注人靈活思維的活力。

“導入出新”——良好的開端是成功的一半。引人入勝的教學導入可以激發學習興趣和熱情。以“創設情境”“敘述故事”“利用矛盾”“設置懸念”“引用名句”“巧用道具”等新穎多變的教學手段，使學生及早進入積極思維狀態。

“錯解剖析”——提供給學生題解過程，但其中有錯誤的地方。讓學生反串角色，扮演教師批改作業。換一個角度來考察學生的知識掌握情況，尋找錯誤產生的原因，以求更好的加深對知識的掌握。

“例題變式”——從例題入手，變換條件尋求結論的不同之處；變換結論尋求條件的不同之處；變換提出問題的背景，尋求多題一解；變換問題的思考角度，尋求一題多解……以變來培養學生靈活的思維。

“編制試卷”——列出考查知識點、考查重點、試題類型，讓學生自己編制一份測驗試卷，并給出解答。使學生站在老師的角度體驗出題心理，更好地掌握知識結構和思維方式。

以上只是我在培養學生思維靈活性方面的一些實踐和體會。

近年來，隨著課程教材改革的推進，突出思維品質的培養已成為廣大教師和教育工作者的共識。我們要在教學實踐中繼續探索，理論聯系實際，在新教改的道路上不斷探索前進。

責任編輯徐國堅