“一副三角板”中的數(shù)學(xué)問題探索與思考

王艷華

摘 要：一副三角板對于學(xué)生來說司空見慣，熟悉得不能再熟悉了，對它們的性質(zhì)及邊角關(guān)系也理解得比較透徹。鑒于此，中考命題人員對一副三角板也進行了研究，并且研究出了不少新穎的題目。就對近幾年的中考題目進行梳理，以饗讀者。

關(guān)鍵詞：三角板；中考；類型

第一類：填空類

1.一副三角板按如圖1放置，則∠α= 度.（有以下八種形式）

2.一副三角板按如圖2放置，已知AB=4■，DE=6.則EB= .

這一類題目用的知識少，也只考查了三角形的性質(zhì)及其特殊角的三角函數(shù).學(xué)生一般情況下都能做對，也是學(xué)生容易拿分的題目，屬于容易題.

第二類：選擇類

3.（2011淄博）一副三角板按圖3所示的位置擺放.將△DEF繞點A（F）逆時針旋轉(zhuǎn)60°后（圖4），測得CG=10 cm，則兩個三角形重疊（陰影）部分的面積為（ ）

此題是把解（直角）三角形問題融入一個具體環(huán)境中，比較新穎，可見命題人的匠心，學(xué)生只要認真思考是可以解決的.

第三類：解答類

4.一副直角三角板如圖5放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，試求CD的長.

此題運用三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)等知識，解決難度不大，不過需作輔助線，學(xué)生是可以解決的，屬于中檔題目.

第四類：操作類

5.一副直角三角板疊放如圖6所示，現(xiàn)將含45°角的三角板ADE固定不動，把含30°角的三角板ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使兩塊三角板至少有一組邊平行。

（1）如圖7，α=______°時，BC∥DE；

（2）請你分別在圖8、圖9的指定框內(nèi)，各畫一種符合要求的圖形，標出α，并完成各項填空：

這類題目設(shè)計得有挑戰(zhàn)性，也很有可操作性，考查了學(xué)生的動手能力和觀察能力.同時也考查了學(xué)生的分類思想，是一道比較好的題目.難度也不大，若改為不畫出后兩種圖形，讓學(xué)生探索，就有難度了，情況不僅僅是兩種了.

第五類：探究類

6.劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖10、11.圖10中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6 cm；圖11中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm.圖12是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動.在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）.

（1）在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸 .（填“不變”“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？

問題②：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.

請你分別完成上述三個問題的解答過程.

此題是一個探究類題目，充分運用觀察、猜想、歸納等分類數(shù)學(xué)思想方法，是一個很不錯的題目.運用了平行線的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程等知識，達到了綜合題的高度，也體現(xiàn)了考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求。

從以上五種類型的題目可以看出，一副三角板中蘊涵著豐富的思維寶藏，只要我們做學(xué)習上的有心人，善于觀察與思考，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在身邊，數(shù)學(xué)無處不在；只要我們肯用心，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，就能發(fā)別人之未發(fā)。

（作者單位 山東省菏澤市牡丹區(qū)21中）