對等差數(shù)列的教學設計

金瑜

等差數(shù)列是高中階段研究的兩種最常見的數(shù)列之一。講解時要在實例的基礎上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學生接受起來并不太困難。只有巧妙的進行教學設計，才能充分調(diào)動學生的主觀能動性，使其充分體驗到成功的樂趣。

一、問題設計

在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常會遇到下面的特殊數(shù)列：

我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5個數(shù)一次，可以得到數(shù)列：

0，5，_，_，_，_，。。。

水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚，如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：

18，_，_，_，_，5.5

我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息，按照單利計算本利和的公式是：

本利和=本金？1+利率狀嫫？

例如，按活期存入1000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和組成的數(shù)列是：

_，_，_，_，_。

問題：上面的數(shù)列有什么共同特點？你能用數(shù)學語言（符號）描述這些特點嗎？

二、建立模型

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即an+1-an=d

問題：

如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫a，b的等差中項，你能用a，b表示A嗎？

你能猜想出問題情境中的3個數(shù)列各自的通項公式嗎？

一般地，對于等差數(shù)列{an}，你能用基本量a1、d來表示其通項嗎？

解法：（1）：歸納：a1=a1，a2=a1+d，a3=a1+2d，…

an=a1+（n—1）d

解法（2）：累加：a2—a1=d，a3—a2=d，…，an+1-an=d，各式相加

得an—a1=（n—1）d

∴an=a1+（n—1）d

〔思考〕

（1）這個通項公式有何特點？是關于n的幾次式的形式？d可以等于0嗎？

（2）此公式中有幾個量？

〔結(jié)論〕

（1）等差數(shù)列通項公式是關于n的一次式的形式，n的系數(shù)為d。當d=0時，該數(shù)列為常數(shù)列。

（2）此公式中有四個量，即 n，d，知道其中任何三個可求另外一個，所以，通項公式實質(zhì)上是四個量之間的關系。

三、解釋應用

1、（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項。

（2）—401是不是等差數(shù)列—5，—9，—13，…的項？如果是，是第幾項？

2、某市出租車的計價標準為1.2元/千米，起步價為10元，即最初的4km（不含4km）計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，須要支付多少車費？

解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客須要支付1.2元，所以，可建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費。

令a1=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么，當出租車行至14km處時，n=11，此時須要支付車費a11=11.2+（11—1）？.2=23.2（元）。

答：須要支付車費23.2元。

3、已知數(shù)列{an}的通項公式為an=pn+q，其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

分析：判定{an}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看an-an-1（n>1）是不是一個與n無關的常數(shù)。

解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an與an-1（n>1），求差，得

an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-（pn-p+q）=p

四、拓展延伸

在直角坐標系中，畫出通項公式為an=3n-5的數(shù)列的圖像，并說出這個數(shù)列的圖像有什么特點，該圖像與y=3x-5的圖像有什么關系？據(jù)此，你能得出一般性的結(jié)論嗎？

通項公式的四個量中知道其中三個量可求另一個量，你能據(jù)此編出一些不同的題目嗎？

對于兩個次數(shù)相同的等差數(shù)列{an}和{bn}，{an+bn}，{an·bn}·{}（bn=0）是否為等差數(shù)列？

總之，教師能否調(diào)動學生的積極性和能否真正培養(yǎng)學生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設計出既符合教材要求又符合學生的認知水平的問題，通過設計一些列問題，層層遞進，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學生的思維，培養(yǎng)了能力，而且體現(xiàn)了新課程的理念。

（作者單位：河南省扶溝縣第二高級中學）