極限……的實(shí)踐應(yīng)用

楊劍波　楊瑞云

摘 要 利用極限式解題時(shí)，一般方法過程繁瑣、機(jī)械，且運(yùn)算量大。本文分析該公式的特點(diǎn)，開辟解題思路，力求使該公式應(yīng)用起來簡(jiǎn)潔、易懂。

關(guān)鍵詞 極限 實(shí)踐 應(yīng)用

引言

數(shù)學(xué)是一門來源于實(shí)踐，又作用于實(shí)踐的基礎(chǔ)學(xué)科。高等數(shù)學(xué)中極限的概念是貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要概念，而兩個(gè)重要極限之一的，更是極限學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在多年的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)這個(gè)極限的理解不是很深，在應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，本文就是在理解該極限式本身特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)闡述了該極限式的應(yīng)用技巧，為同學(xué)們更好的掌握該公式提供了方便。

一、公式的認(rèn)識(shí)

觀察極限式，不難發(fā)現(xiàn)此極限應(yīng)用時(shí)的特點(diǎn)（極限應(yīng)用時(shí)的情況類似）：

（1）此極限主要解決1∞型或可化為1∞型的冪指函數(shù)的極限；

（2）它可形象地表示為（方框□代表同一變量）。

二、公式的具體應(yīng)用

1、在具體計(jì)算時(shí)的應(yīng)用技巧

例1 求.

解：所求極限類型是1∞型，令 =u，則x=2u.則有

例2 求.

解：所求極限類型是1∞型.

從以上兩例的解答過程中，我們推廣得到下面的結(jié)論：

（a）如果把函數(shù)換成的形式，答案就是eW。

（b）函數(shù)換成則答案就是eWV。

（c）函數(shù)換成答案是eW。這些結(jié)論應(yīng)用時(shí)應(yīng)首先滿足（1）（2）。舉例如下：

例3 。

例4 。

例5 （1）

（2）

（3）

（4）

注：對(duì)于型的復(fù)合形式，先變成型，再按上面的推廣結(jié)論處理。

例6

（令）=t

例7

2、在微分學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的定義是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上的，在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)相關(guān)結(jié)論時(shí)，必然會(huì)用到極限的相關(guān)知識(shí)。比如推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)公式（ax）'=axlna和（logax）'=時(shí)，都用到了第二個(gè)極限公式，這里就不具體闡述了。

3、在實(shí)踐例子中的應(yīng)用探索

我們看一下連續(xù)復(fù)利的情況：如果一筆年利為7%，每年支付n次復(fù)利的投資的年有效收益，1年后余額為（1+）n，而。對(duì)于大于1 000 000的n值，你會(huì)發(fā)現(xiàn)1+≈1.0725082，年有效收益約為7.25082%，即使你取1000或10000，這一年有效收益也不會(huì)有明顯改變，值7.25082%是一個(gè)上界，年有效收益隨復(fù)利次數(shù)的增加而越近于該值.當(dāng)年有效收益達(dá)到這一上界時(shí)，我們就說這種利息是連續(xù)支付的復(fù)利，這是從7%的票面利率中能夠取到的最大收益.類似的，我們可以計(jì)算年利率為其它值時(shí)的最大收益。

在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多事物的變化都類似連續(xù)復(fù)利。例如，放射物質(zhì)的衰變；細(xì)胞的繁殖；物體被周圍介質(zhì)冷卻或加熱；大氣隨地面上的高度的變化；電路的接通或切斷時(shí)，直流電流的產(chǎn)生或消失過程等，這些問題我們都可以類似的去研究。

三、總結(jié)

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)當(dāng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)和純理論的水平上，而應(yīng)根據(jù)專業(yè)的特點(diǎn)，使學(xué)生從實(shí)踐應(yīng)用中去理解數(shù)學(xué)的抽象性和理論性，真正的將所學(xué)應(yīng)用于生活中，達(dá)到理論和實(shí)踐的完美結(jié)合，從而能動(dòng)的改造客觀世界。作為一名教師，我們就是要不斷地思考和探索，想方設(shè)法的將已有知識(shí)傳授給學(xué)生，使學(xué)生學(xué)有所獲，學(xué)以致用。