寓數于形 以形顯數

徐國剛

我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休。”因此，在數學教學中，教師要有意識地溝通數、形之間的聯系，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過對圖形的處理，發揮圖形對抽象數學內容的支撐作用，引導學生借助形的直觀來理解數的抽象，利用數的抽象來提升形的內在邏輯，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，從而幫助學生理解知識、啟迪思維，促進學生的發展。

一、以形輔數，在直觀表象中建立模型

教師要借助圖形的直觀性將抽象的數學內容形象化，并充分發揮直觀形象對新知建構的支撐作用，讓學生從形象直觀的圖形出發，親歷將實際問題抽象成數學模型的過程，為理解數學知識奠定基礎。課堂教學中，教師應提供空間，創設平臺，激活學生的已有生活經驗，引導學生在具體的學習情境中自覺啟動主體思維，深刻理解數學知識的本質意義。例如，在教學“四舍五入”一課時。

師：請看圖（如下），從21到29這九個數中選擇最近的路，會去誰（20或30）的家？

生1：21到20的家最近，會去20的家。

師：我們就說21的近似值是20，記作21≈20，讀作21約等于20。（師板書并在圖上畫出表示這些數到20或30的距離的線段）

生2：25到20和30一樣近，兩個家都可以去。

師：為了不讓25為難，我們規定它去30的家，記作25≈30。請大家看黑板上的算式，你有什么發現？

生3：我發現末尾是1、2、3、4的時候就舍去，末尾是5、6、7、8、9的時候就進1。

生4：我知道這就是“四舍五入”。

師：說的好。我們通常利用“四舍五入”的方法求一個數的近似值。再來看看圖（如下），我們學校的學生人數接近哪個整百數？

生5：因為837到840比到830近，所以837≈840。

生6：因為837到800比到900近，所以837≈800。

師：還有不同的想法嗎？

生7：837的個位上是7，滿5了，所以進一，約等于840；它的十位上是3，根據“四舍”，要舍去，所以約等于800。

師：大家看，837≈840、837≈800，這不矛盾嗎？

生8：不矛盾，前面是四舍五入到十位，后面是到百位。

……

上述案例中，教師采用數軸的形式，頗有深意地創設了“選擇最近的路”的教學情境，自然直觀地生成了“四舍五入”的方法原理。通過比較21～29中各數到20和30的距離遠近，使“四舍五入”有了一個形象的數學模型，使新概念的構建水到渠成。用學生熟悉的情景反映一個數可以按不同的精確度取不同的近似數這一數學現象，目的是希望學生通過直觀比較，將初步認識提升到通過簡單的數學推理得到不同精確程度的近似數。顯然，這一知識的教學過程，正是教師利用學生的生活經驗創設形象直觀的意義情境，用故事的形式把“四舍五入”放到數軸上展開學習，利用情境賦予“四舍五入”一個直觀的幾何解釋，有效化解了課堂教學的難點。

所以，我們教師要做的就是通過直觀形象的圖形喚醒學生相關的認知經驗，這種認知經驗既可以從學生的生活和知識經驗中直接提取，也可以在設計和提供形象的認知情境中提取。在這樣的教學情境中，學生具有相應的直觀體驗和模型識別，就能和新知識的學習建立起意義聯系。抽象的數學只有和直觀形象的意義鏈接，才能實現學生對新知的個性化學習。

二、寓數與形，在直觀轉化中溝通聯系

在數學教學中，教師可借助圖形的直觀性將抽象的數學概念、運算性質和數量關系形象化、簡單化，讓學生從已有的知識經驗出發，通過多種感官充分感知，在形成表象的基礎上進行想象、聯想，達到最終理解數學本質、解決數學問題、形成數學思想的目的。

例如，在教學“乘法分配律”一課時，為了讓學生深入理解乘法分配律，并能熟練地進行應用，我利用數形結合的方法進行一些嘗試，取得了較好的效果。課堂中我從面積計算問題引入教學，在探究過程中出示下圖，要求學生用不同的方法計算出下面圖形的面積。

學生一般會出現兩種解法，即S=ab+ac和S=a（b+c）。由于是求同一個圖形的面積，所以自然得到ab+ac=a（b+c），然后在驗證的過程中，學生用了大量不同的具體數據，證明了公式的確成立。有了這個相連長方形的模型，通過計算長方形的面積，學生能很直觀地看到相同的寬其實就是乘法分配律中的公因數。在這樣的具體情境中，學生自己不但能感悟理解，還能用自己的語言描述出來。通過計算長方形的面積和觀察長與寬之間的規律去理解乘法分配律，這樣的設計比抽象地呈現一組組乘法算式讓學生比較，更易于學生發現、理解規律。

圖形推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算的直觀模型。數學活動中有關圖形的知識，可以通過數和計算幫助理解。

例如，教學“梯形的面積計算”一課時，在學生通過自己的觀察和操作學習梯形的面積計算公式后，我設計了一系列練習幫助學生進一步鞏固梯形面積的計算。我先出示圖形（如下）讓學生觀察，然后指著梯形上底的一端，問學生：“如果下底不變，上底縮小，你想象一下，這個梯形會怎么樣？繼續縮小，當上底縮小到0時，會怎么樣？”“下底還是不變，如果把上底拉長到和下底一樣長的時候，變成什么圖形？”由于有直觀的梯形圖為基礎，學生在想象上底變化的過程中，感受到面積計算的變化，既溝通了與三角形和平行四邊形之間的聯系，又使學生感悟到梯形和三角形與平行四邊形之間面積計算公式之間的關系，為學生形成良好的知識結構作了很好的孕伏鋪墊。

三、以形思數，在直觀操作中體悟方法

小學生的思維以形象思維為主，對于摸得到、看得見的具體材料更容易認知、理解和記憶。為此，在課堂教學中，教師要善于抓住學生的這一思維特征，巧妙地將抽象的數字轉化為具體的圖形，深化學生對數學知識的初步認知。同時，教師要讓學生多動手操作，使學生養成愛動手的好習慣，并引導學生將數學中的數字轉化為看得見的圖形，從而易于解決問題。

例如，教學小學六年級的“雞兔同籠”問題時，我出示題目：“在一個籠子里裝有兔子和雞，其中有8個頭，26只腳。請問兔子和雞各有多少只？”假設法是本課教學的難點，許多學生提出了自己的困惑，歸納總結如下：為什么要用10除以2？5為什么是兔子的只數？針對學生普遍存在的困惑，我采取數形結合的方法，幫助學生理解和掌握其解題思路。在第一次試教中，我采取畫示意圖（如下）“給雞添腳”的方式引導學生理解10÷2。可實際教學效果表明，仍有部分學生理解困難。

在反思過程中，我覺得由雞到兔的變化沒有給學生留下深刻印象，因為增加的腳與原來的腳既沒有進行顏色區分，也無法看出數的變化，導致學生無法借助數形結合對這一過程進行深入思考。于是，我將“給雞添腳”改為“拿雞換兔”，并且在課件上清晰再現了這一置換過程。如下圖：

在整個過程中，學生積極、充分地參與到課堂學習之中，儼然成為學習的小主人。學生在動腦、動手、動口的過程中，將抽象的數學知識生動形象地展示出來，加深了對所學知識的認識和感悟。

數和形是數學研究的基本對象。數形結合作為一種重要的解題方法，它把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀形象描述結合起來，有利于啟迪思路，探求解題途徑。數量關系如果借助圖形幫助理解，可使許多抽象問題變得直觀形象化，而且使某些涉及圖形的問題轉化為數量關系的問題，從而獲得簡單、快捷的解法。

四、數形結合，在逐次抽象中發展思維

數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，兩者往往緊密聯系，相互補充，在一定條件下可以相互轉化。在小學數學教學中，恰當地應用數形結合的方法，能清楚地揭示計算的算理，幫助學生形成解題策略，培養學生的空間觀念，對學生的現實學習和繼續學習都有著很重要的意義。

例如，教學“設計包裝”一課時，在學生用12個棱長是1分米的立方體小盒子包裝成不同的長方體后，我及時把學生的回答用課件展示并提問：“在這四種擺法（如下圖）中，你認為哪種擺法的表面積最小？為什么？”學生一般從各個長方體重疊面的多少，能正確判斷出各個長方體表面積的大小。接著，我又提出了這樣一個問題：“下面請大家一起想想，長方體的長、寬、高和表面積的大小有怎樣的聯系？”

由于學生觀察到的長方體非常具體，而平時長方體的長、寬、高又是以具體的數值呈現的，所以很難聯想到長方體的長、寬、高和表面積大小的聯系，導致在教學這個環節中出現了冷場。于是，我為學生在“形”和“數”之間提供“拐杖”與支撐，及時在這些長方體旁邊出現相對應的長、寬、高具體數值的線段圖。如下：

學生已經知道了這些長方體表面積的大小，又能直觀地觀察到長方體長、寬、高的具體長短，形成長方體的長、寬、高和表面積大小的聯系自然水到渠成。

數形結合思想和其他數學思想一樣，滲透在整個數學學習過程之中。學生對數形結合思想的掌握，要經歷從模糊到清晰的階段。因此，在課堂教學中，教師要根據各年級學生的實際水平和個體差異，使他們經歷從“萌發意識——形成意向——掌握深化”的過程，在數學思想方法的發展上更深入一步。只有當它成為兒童解決數學問題的自覺意識時，才會上升為數學思想，才會成為方法的理論基礎。數形結合思想形成的前提是讓學生經歷應用的過程，而教師提供的時間與空間是為方法提升作保證。