在機械結構模態分析中的有限元法研究

葛晨岡 李嘉瑞 葛融冰

摘 要：文章運用有限元分析軟件分析了機床床身固有頻率和振型，提出了適合加工的主軸轉速范圍和改善床身結構模態特性的方法，實驗表明有限元法是一種對機械結構進行模態分析的有效方法。

關鍵詞：有限元法 模態分析 機械結構

模態分析技術發展到今天已趨成熟，特別是線性模態理論方面的研究已日臻完善，但在工程應用方面還有不少工作可做。首先是如何提高模態分析的精度，擴大應用范圍。增加模態分析的信息量是提高分析精度的關鍵，單靠增加傳感器的測點數目很難實現，目前提出的一種激光掃描方法是大大增加測點數的有效辦法，測點數目的增加隨之而來的是增大數據采集與分析系統的容量及提高分析處理速度，在測試方法、數據采集與分析方面還有不少研究工作可做。對復雜結構空間模態的測量分析、頻響函數的耦合、高頻模態檢測、抗噪聲干擾等等方面的研究尚需進一步開展。模態分析當前的一個重要發展趨勢是由線性向非線性問題方向發展。

1.機床床身有限元模型的建立

本文分析對象為某光學零件銑磨加工機床的床身結構。機床采用模塊化組合形式，床身結構為一龍門式立銑框架，由底座、橫梁和兩立柱聯接而成，床身材料為花崗巖，銑磨主軸安裝于床身橫梁上，主軸最大轉速為27000r/min。首先建立機床床身的幾何模型，選擇單元類型為Solid92，定義材料特性之后，應用ANSYS軟件中的MESHING功能將所建的模型自動劃分為1355個單元，2728個節點，整個床身的有限元網格模型。

2.加載及求解

加載之前應聲明結構分析類型，分析類型的選擇由ANTYPE命令而定，此處定為模態分析。模態分析方法有降階法、次空間法、非對稱法、阻尼法、區塊法及快速動力法等。其中，次空間法通常用在大型結構中，使用該方法探討前幾個振動頻率所得結果較準確，不需定義主自由度，故機床床身的模態分析方法選定為次空間法。起控制方程為拉普拉斯方程，即無源場中各點的散度為零，邊界條件為：

式中，u（x，y）為區域內Ω任意點的溫度；n為區域Ω邊界T上任意點的外向法線；u代表在T1上給定的溫度（例如左邊界2000C，右邊界為200C）；代表邊界T2上給定的熱流密度。則式中的二階偏導數可用結點溫度的二階差商近似表達為：

式中，⊿x和⊿y在結點劃分完畢后是已知的。這樣，上式即為一個以ui，j和圍繞（i，j）結點的4個結點的u值為未知量的線性代數方程。若區域Ω有m-n個結點個m個邊界結點，則可建立n-m個如上式所示的線性代數方程。

3.結果分析

3.1機床床身的固有頻率

應用ANSYS分析得到的機床床身結構的前八階固有頻率如表1所示，表中同時列出了當銑磨加工頻率為機床固有頻率時對應的主軸轉速、砂輪線速度（僅討論砂輪直徑為45mm的情況）。砂輪線速度大于24m/s時，工件表面凹凸層較均勻，而砂輪線速度為24m/s時對應的主軸轉速為10191r/min；根據表1可得出，當主軸轉速在10191～27000r/min之間并且遠離11424.84r/min、15110.16r/min、20300.04r/min、21890.34r/min和24197.58r/min時，既能獲得合理的線速度，又能使銑磨加工頻率遠離機床各階模態的固有頻率，避免產生共振現象。因此，主軸轉速應控制在上述范圍內。

表1 主軸轉速砂輪線速度

模態階段 固有頻率（Hz） 主軸轉速（r/min） 砂輪線速度（m/s）

1 87.398 5243.88 12.35

2 89.452 5367.12 12.64

3 190.414 11424.84 26.91

4 251.836 15110.16 35.58

5 338.334 20300.04 47.81

6 364.839 21890.34 51.55

7 403.293 24197.58 56.99

8 485.592 29135.52 68.61

3.2機床床身的各階模態振型

根據表1所示，由于主軸轉速應控制在10191～27000r/min之間，所以第1、第2和第8及以上階次模態一般不會形成，故只分析第3～7階模態。由ANSYS得到的機床床身第3～7階模態振型。從模態振型可以看出，各階頻率所對應的振型比較復雜。第3階振型為兩立柱同時發生彎曲和扭轉，橫梁位移較大，故這階模態為機床的薄弱模態，對銑磨加工影響較嚴重；第4階振型為橫梁發生較大彎曲，底座有較大位移；第5階振型為立柱和橫梁均發生彎曲，并造成橫梁繞X軸方向轉動和沿Y軸方向移動；第6階振型的底座和橫梁均發生彎曲，底座遠離立柱的一側位移量值較大；第七階振型為橫梁繞Z軸方向扭轉。由振型及以上分析可知，第3階模態造成機床最大位移值較大，如出現該情況會對加工造成較大影響。各階模態振型可通過改變立柱和橫梁的結構尺寸、調整床身底座的支承位置以及調整立柱與底座的相對位置得以改善。

4.結束語

模態是機械結構的固有振動特性，每一個模態具有特定的固有頻率、阻尼比和模態振型。這些模態參數可以由計算或試驗分析取得，這樣一個計算或試驗分析過程稱為模態分析。這個分析過程如果是由有限元計算的方法取得的，則稱為計算模記分析；如果通過試驗將采集的系統輸入與輸出信號經過參數識別獲得模態參數，稱為試驗模態分析。通常，模態分析都是指試驗模態分析。振動模態是彈性結構的固有的、整體的特性。如果通過模態分析方法搞清楚了結構物在某一易受影響的頻率范圍內各階主要模態的特性，就可能預言結構在此頻段內在外部或內部各種振源作用下實際振動響應。因此，模態分析是結構動態設計及設備的故障診斷的重要方法。

參考文獻：

[1]姚旭.有限元法在機械結構模態分析中的應用[J].機械工業.2012

[2]邢蕊.基于PLC控制的機械結構系統中的應用[J].科技傳播.2012