關于直角三角形全等和相似判定的探究

摘 要： 在數學解題教學中給學生留有空間充分探索，嘗試一題多解，用聯系的觀點思考問題，能大大提高思維品質，拓展思維的廣度和深度.

關鍵詞： 一題多解 直角三角形 全等 相似

2010年南京市中考題：學習《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得經驗，繼續探索兩個直角三角形相似的條件.

（1）“對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，兩個直角三角形全等”.類似地，你可以得到“滿足？搖？搖？搖 ？搖？搖，或？搖？搖 ？搖？搖？搖，兩個直角三角形相似”.

（2）“滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”，類似地，你可以得到“滿足的兩個直角三角形相似”.請結合下列所給圖形，寫出已知，并完成說理過程.

學生1：直角三角形已有兩邊對應成比例了，還差一邊的關系，而直角三角形三邊是有關系的，滿足勾股定理.易得BC=kB′C′，由三邊對應成比例可得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

教師：可以利用勾股定理計算得到第三邊的比值也是k.還有其他方法嗎？

學生2：兩邊對應成比例，還可以說明夾角相等，即說明∠A=∠A′，目前含有∠A，∠A′的三角形只有△ABC和△A′B′C，因此我想到構造另一對相似三角形，可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半構造.

分別取AB、A′B′的中點D、D′，連接CD、C′D′，由三邊對應成比例可得Rt△ACD∽Rt△A′C′D′，∴∠A=∠A′.由兩邊對應成比例且夾角對應相等得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.

教師：想到轉化到另一對三角形中說明缺少的條件，這是數學解題中常用的轉化思想.

生3：既然可以這么構造，那也可以往外部構造，把三角形沿BC、B′C′翻折，補充成等腰三角形△ABD和△A′B′D′，如圖2，用類似的方法可以證得.

新課標指出：“數學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程.有效的教學是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.”“課程內容的組織要重視過程，處理好過程和結果的關系.”教師只有充分預設，大膽留白才能引發學生的充分探索，發揮好組織引導的作用.學生只有在不斷探究、一題多解中才能體會到數學是思維的體操，拓展思維的深度和廣度.

參考文獻：

[1]2011版數學課程標準.