二次函數(shù)型問題及變式

摘 要： 二次函數(shù)型問題是高中數(shù)學的教學重點與難點，也是高考和學業(yè)水平考試的重點與難點.二次函數(shù)型問題形式多樣，解題方法靈活.但有些學生在解答二次函數(shù)型問題時容易出現(xiàn)錯誤，甚至束手無策.本文就一個習題教學案例進行分析與拓展，總結了二次函數(shù)型問題的幾個常見類型，旨在鞏固二次函數(shù)的圖像與性質，揭示二次函數(shù)型問題常見的解決思路與方法.

關鍵詞： 二次函數(shù)型問題 變式 數(shù)學表達能力 習題教學

習題課是數(shù)學課堂教學中的一種重要的不可或缺的課型.習題教學的重點在于及時掌握學生在解決數(shù)學問題的認知基礎和心理狀態(tài)，對學生易錯題進行仔細分析，拓展與變式，提高學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學表達能力.加強習題教學案例分析是提高習題教學效率的切實可行的措施.本文就一個習題教學案例的分析，小結了常見二次函數(shù)型問題及其解決思路.

一、一個習題教學案例

設函數(shù)f（x）=■（a<0）的定義域為D，若所有點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區(qū)域，則的值為（ ）

（A）-2 （B）-4 （C）-8 （D）不能確定

習題設計說明：本題旨在考查函數(shù)f（x）=■（a<0）的定義域、值域.主要分析思路是：設關于x的方程■（a<0）的兩個根分別為x■，x■，由題意得|x■-x■|=f■（x），即■=■，則|a|=2■，解得a=-4，所以選B.此題是對學生是否掌握了用數(shù)形結合思想方法解決二次函數(shù)型問題的一次很好的檢驗.但統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，只有62%的學生做對.經(jīng)過分析與教學反思，我對此題進行了拓展變式.

二、案例拓展與變式

1.與二次函數(shù)定義域有關的問題

（1）已知n∈N■，函數(shù)f（x）=n（n+1）x■-（2n+1）x+1圖像在軸上截距之和為？搖 ？搖.

分析：已知拋物線與x軸交點的橫坐標分別為■、■，這兩點間距離為■-■，所以當n∈N■時，所求截距之和為

■[（1-■）+（■-■）+…（■-■）]=■（1-■）=1.

2.與二次函數(shù)值域有關的問題

（2）若函數(shù)y=lg（ax■+2x+1）（a∈R）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：（1）當a=0時，y=lg（2x+1），其值域是R，符合題意；

當a≠0時，得a>0△=4-4a≥0？圳0

3.利用二次函數(shù)的性質可以解決定義域和值域共存問題

（3）①若關于x的不等式x■-ax+a+1<0對于x∈（2，3）都成立，則實數(shù)a的取值范圍為？搖 ？搖.

②若存在x∈（2，3），使得x■-ax+a+1<0成立，則實數(shù)a的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：①由已知，得△=（-a）■-4（a+1）>0，f（2）≤0f（3）≤0？圯a≥5；

②設x■-ax+a-1=0，則（x-1）（x-a+1）=0，

解得x=1或x=a-1.由已知，得拋物線y=x■-ax+a-1與x軸有兩個交點（1，0），（a-1，0），且a-1>2，因此a>3.

（4）若關于x的不等式x■-ax+a<0有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是？搖 ？搖.

解：設f（x）=x■-ax+a，其圖像對稱軸是x=■.

由△=（-a）■-4a>0，解得a<0或a>4.

當a<0時，■<0，且f（1）>0，f（0）=a<0，

由題意得f（-1）<0f（-2）≥0，

即1+2a<04+3a≥0，解得-■≤a<-■；

當a>4時，■>2，且f（1）>0，f（2）=4-a<0，

由題意得f（3）<0f（4）≥0，

即9-2a<016-3a≥0，解得■

三、結語

對習題教學案例分析與拓展變式是習題教學的一種好的形式.二次函數(shù)型問題是易錯問題，它是教與學的重點和難點，也是高考與學業(yè)考試的重點與難點.二次函數(shù)型問題分類與解決有助于學生理解二次函數(shù)圖像與性質，有利于揭示二次函數(shù)型問題常見的解決思路與方法.

參考文獻：

[1]徐明.小填空，大乾坤[J].中學數(shù)學教學參考，2013（6）：61-63.

[2]黃美.“二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題”的教學案例[J].上海中學數(shù)學，2011（1-2）.