用好小標(biāo)記，輔助解對(duì)題

摘 要： 數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)之—是其準(zhǔn)確性，不僅解題思路要正確，具體解題過(guò)程也不能出錯(cuò).學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了要謹(jǐn)慎細(xì)心，一絲不茍外，還可以借助一些小標(biāo)記輔助解題.本文對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中用小標(biāo)記輔助解題的做法展開(kāi)了調(diào)查與思考.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在一些容易錯(cuò)的題目或者經(jīng)常被學(xué)生忽略的題目上做些簡(jiǎn)單的小標(biāo)記，確實(shí)能引起學(xué)生的注意，幫助學(xué)生記憶辨識(shí)，有效地減少錯(cuò)誤，提高解題的正確率.

關(guān)鍵詞： 標(biāo)記 合并同類項(xiàng) 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 解題

一

我們常聽(tīng)到同學(xué)說(shuō)：“老師，我這題只錯(cuò)了一個(gè)符號(hào)，怎么算全錯(cuò)？”或者說(shuō)：“這道題我會(huì)做的，就是由于粗心沒(méi)看清楚題目，扣了那么多分，真冤啊！”殊不知數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)之—就是準(zhǔn)確性，不僅解題思路要正確，具體解題過(guò)程也不能出錯(cuò)，差之毫厘，往往謬以千里.牛頓曾說(shuō)：“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略.”如何減少解題中的錯(cuò)誤呢？除了平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要謹(jǐn)慎細(xì)心、一絲不茍以外，還可以借助一些小標(biāo)記輔助解題.

標(biāo)記是要引起學(xué)生的注意，這里的注意是指有意注意，又稱隨意注意，指有預(yù)定目的需要意志努力的注意；雖然學(xué)生開(kāi)始做標(biāo)記時(shí)感到生疏、不感興趣，這時(shí)往往需要通過(guò)一定的意志努力才能把自己的注意保持在這項(xiàng)做標(biāo)記的工作上，到后來(lái)熟悉了這項(xiàng)工作并嘗到了甜頭，有了興趣后，就不需要意志努力而保持注意了，從而達(dá)到減少錯(cuò)誤，提高解題正確率的目的.本文對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中用小標(biāo)記輔助解題的做法進(jìn)行了調(diào)查與思考.

在學(xué)習(xí)初一階段的合并同類項(xiàng)時(shí)，采用不同的記號(hào)標(biāo)出各組同類項(xiàng)，不僅可以有效地減少錯(cuò)誤，而且可以簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，提高解題速度.

在本校初一選取兩個(gè)平行班做了對(duì)比試驗(yàn)教學(xué)，（1）班在講解新課時(shí)強(qiáng)調(diào)必須先用不同的記號(hào)標(biāo)出同類項(xiàng)，并且要求標(biāo)好一組后馬上合并，再標(biāo)第二組再合并……

如合并同類項(xiàng)：2y-5x■+6-2xy■-3x■-7+2xy■-y

原式=（2-1）y+（-5-3）x■+（6-7）+（-2+2）xy■=y-8x■-1

而在（2）班講解新課時(shí)只是稍帶提了一下這種做標(biāo)記的方法，為了減少錯(cuò)誤，要求學(xué)生通過(guò)加法交換律和結(jié)合律把同類項(xiàng)寫在一起.

合并同類項(xiàng)：2y-5x■+6-2xy■-3x■-7+2xy■-y

原式=2y-y-5x■-3x■+6-7-2xy■+2xy■

=（2-1）y+（-5-3）x■+（6-7）+（-2+2）xy■

=y-8x■-1

在教學(xué)反饋環(huán)節(jié)中（1）、（2）班都做了以下題目：

合并同類項(xiàng)：6ab-5a■b■-8ab■-4ab+5a■b■+7b■a+3

解題情況對(duì)比如下：

表1

從解題步驟來(lái)看：

（1）班普遍采用如下解法：

①6ab-5a■b■-8ab■-4ab+5a■b■+7b■a+3

原式=（6-4）ab+（-5+5）a■b■+（-8+7）ab■+3

=2ab-ab■+3

②6ab-5a■b■-8ab■-4ab+5a■b■+7b■a+3

原式=2ab-ab■+3

（2）班普遍采用如下解法：

6ab-5a■b■-8ab■-4ab+5a■b■+7b■a+3

原式=6ab-4ab-5a■b■+5a■b■-8ab■+7ab■+3

=（6-4）ab+（-5+5）a■b■+（-8+7）ab■+3

=2ab-ab■+3

正確答題情況的統(tǒng)計(jì)分析：

表2

（1）班48人都采取了做標(biāo)記的方法，錯(cuò)誤集中在沒(méi)發(fā)現(xiàn)-8ab■和+7b■a是同類項(xiàng)，還有幾個(gè)出現(xiàn)了有理數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤，基本沒(méi)出現(xiàn)漏項(xiàng).（2）班做對(duì)的37人中有4人主動(dòng)采取了用不同的符號(hào)標(biāo)記同類項(xiàng)，出現(xiàn)的錯(cuò)誤除了以上兩種外，還有5人出現(xiàn)了漏項(xiàng).從解題速度來(lái)看，（1）班明顯快于（2）班，最主要區(qū)別在找同類項(xiàng)的過(guò)程中，（1）班的學(xué)生由于采取了做標(biāo)記，不僅可省略第一步，即把同類項(xiàng)歸結(jié)在一起，而且不必?fù)?dān)心漏項(xiàng)和重復(fù)計(jì)算項(xiàng).在這里我采用標(biāo)記“？搖 ？搖？搖、？搖 ？搖？搖、等”劃分同類項(xiàng)，使學(xué)生不僅提高了解題速度，還提高了解題正確率。

初二階段在學(xué)習(xí)平方根時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)這樣一類題目：求■的平方根.絕大部分學(xué)生會(huì)回答是±4，即使一遍遍地訂正，過(guò)一段時(shí)間后再回答時(shí)還是錯(cuò)誤，令學(xué)生很是懊惱.在一次次的摸索教學(xué)中總結(jié)得出：做標(biāo)記，即看到■時(shí)要求學(xué)生做標(biāo)記變成 ■ =4，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練，正確率大幅度提高，也經(jīng)得起時(shí)間的考驗(yàn).在初三學(xué)生中測(cè)試：求■的平方根，試題分兩類，第一類■已經(jīng)標(biāo)記，第二類是沒(méi)標(biāo)記的.

測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析：

表3

其中第二類學(xué)生中，自己做標(biāo)記的有20人，做對(duì)有15人，沒(méi)做標(biāo)記的18人中只有6人是做對(duì)的.

這里采用加“□”這個(gè)標(biāo)記提示學(xué)生先要進(jìn)行一步計(jì)算，再求平方根。

從以上兩個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在一些容易錯(cuò)的題目或者經(jīng)常被學(xué)生忽略的題目上做些簡(jiǎn)單的小標(biāo)記，確實(shí)能引起學(xué)生的注意，幫助學(xué)生記憶辨識(shí)，有效地減少錯(cuò)誤，提高解題的正確率；同時(shí)，數(shù)學(xué)確實(shí)有點(diǎn)枯燥，解題時(shí)做些小標(biāo)記對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一種樂(lè)趣.如果用彩筆來(lái)做，醒目的顏色不僅更能引起注意，還具有觀賞性，成為數(shù)學(xué)作業(yè)中的一道亮麗的風(fēng)景線，給學(xué)生增添學(xué)習(xí)樂(lè)趣，使大腦興奮，思維敏捷，做起題目來(lái)就可能事半功倍.

二

在初中階段還有以下方面可以用小標(biāo)記輔助解題.

（一）在運(yùn)用平方差公式（a+b）（a-b）=a■-b■時(shí)做標(biāo)記

在具體題目中，哪個(gè)項(xiàng)作為公式中的a，哪個(gè)項(xiàng)作為公式中的b呢？我和學(xué)生約定，把完全相同的項(xiàng)下面劃好橫線作為公式中的a，把只有符號(hào)相反的項(xiàng)下面劃好波浪線作為公式中的b.

如（x+2）（x-2）=x■-2■；（a-b）（-a-b）=（-b）■-a■

對(duì)于以下這類題目也同樣適用：

（a+b-c）（a-b-c）=（a-c+b）（a-c-b）=（a-c）■-b■，

（a-b-c）（a+b+c）=【a-（b+c）】【a+（b+c）】.

這里用標(biāo)記“？搖 ？搖？搖、？搖 ？搖？搖”幫助學(xué)生巧用平方差公式.

（二）求一元二次方程中k的取值范圍時(shí)做標(biāo)記

例：已知關(guān)于x的方程（k-1）x■-6x+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

在解題過(guò)程中學(xué)生的注意力集中在“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”這個(gè)條件上，很容易忽略了一元二次方程中x■的系數(shù)（k-1）≠0，導(dǎo)致會(huì)失分.針對(duì)這種情況，我要求學(xué)生一看到一元二次方程中x■的系數(shù)若帶有字母，必須第一時(shí)間做好標(biāo)記，如 （k-1） x■-6x+9=0，并在解題第一步就寫上系數(shù)k-1≠0，然后著手解題.

標(biāo)記“□”提醒這個(gè)地方不要漏考慮了.

（三）在分析幾何證明時(shí)做標(biāo)記

在圖形上約定做一些小標(biāo)記表示相等的角、相等的線段、全等的三角形等.例（見(jiàn)下圖）：

要求學(xué)生在結(jié)合圖形讀題目時(shí)，要一邊讀題一邊在圖形上做好標(biāo)記，以后在圖形上分析問(wèn)題時(shí)一些等量關(guān)系就一目了然，不用再一遍又一遍地讀題了.在圖形上做好標(biāo)記“﹨、＼＼、● 、● ”或者打上陰影幫助學(xué)生識(shí)別圖形中的等量關(guān)系.

（四）在作三角形的高和“臺(tái)風(fēng)問(wèn)題”時(shí)做標(biāo)記

一直困擾學(xué)生的問(wèn)題是如何作鈍角三角形的高，我?guī)蛯W(xué)生歸結(jié)為：先找到這條邊，然后找到相對(duì)的頂點(diǎn)，用彩筆描好邊和點(diǎn)，突出重點(diǎn)，其他的點(diǎn)和線都可以忽略了，接下來(lái)只要過(guò)這個(gè)點(diǎn)做這條邊的垂線段就行了.

如圖，作出AC邊上的高.只要標(biāo)記出邊AC和點(diǎn)B，變成過(guò)點(diǎn)B作直線AC的垂線段即可.

例1：臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測(cè)，在沿海某城市A正南方向220km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)在以15km/h的速度延北偏東30°方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)4級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響.

（1）A市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響A市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？

（3）A市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？

例2：如圖，一艘船以每小時(shí)30海里的速度向東北方向航行，在A處觀測(cè)燈塔S在船的北偏東75°的方向，航行12分鐘后到達(dá)B處，這時(shí)燈塔S恰好在船的正東方向.已知距離此燈塔8海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿東北方向航行嗎？為什么？（參考數(shù)據(jù)：■≈1.41，■≈1.73）

以上兩題雖然從表面上看是截然不同的兩個(gè)應(yīng)用題，但其實(shí)本質(zhì)是一類的，可歸結(jié)為過(guò)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)作一條線路的垂線段，求這條垂線段.（見(jiàn)下圖）

利用“彩筆重描點(diǎn)和線”做標(biāo)記，突出了重點(diǎn)，減少混淆，簡(jiǎn)化了問(wèn)題本身，讓更多的學(xué)生掌握了解題途徑.

生理學(xué)和心理學(xué)的研究表明：一個(gè)人五官對(duì)知識(shí)的吸收率，用眼睛看（視覺(jué)）所接收的信息占83%，用耳朵聽(tīng)（聽(tīng)覺(jué)）所接收的信息只占11%。顯然，在教學(xué)活動(dòng)中，把學(xué)習(xí)者的視覺(jué)充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，再結(jié)合聽(tīng)覺(jué)，就能收到較好的學(xué)習(xí)效果。做些小標(biāo)記輔助解題，能充分利用視覺(jué)感官，引起學(xué)生的注意，達(dá)到正確解題的目的.

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