數(shù)學(xué)建模法在教學(xué)中的應(yīng)用

韓春峰

摘 要：數(shù)學(xué)建模法是一種常用的教學(xué)方法，尤其適用于應(yīng)用題的教學(xué)。通過(guò)分階段教學(xué)，學(xué)生先模仿，然后建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題，這樣既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和解題能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維。

關(guān)鍵詞：建模；應(yīng)用；教學(xué)方法

課欲善必慎其教。數(shù)學(xué)教學(xué)方法是多種多樣的，不同的內(nèi)容，我們要學(xué)會(huì)選擇與之相適應(yīng)的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)建模法就是諸多教學(xué)方法中的一種。數(shù)學(xué)建模是指應(yīng)用相應(yīng)的教學(xué)工具，得到一個(gè)教學(xué)結(jié)構(gòu)，用相關(guān)知識(shí)從實(shí)際問(wèn)題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。它是針對(duì)客觀世界的一個(gè)特定對(duì)象，為達(dá)到一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律而做出的使問(wèn)題簡(jiǎn)化的一個(gè)過(guò)程。那么數(shù)學(xué)建模具有哪些特征呢？

一是具有應(yīng)用性。螺絲刀可以擰螺絲，字典可以查閱生字，數(shù)學(xué)模型可以把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，把難題簡(jiǎn)易化，使問(wèn)題得以解決。

二是具有漸進(jìn)性。數(shù)學(xué)模型的建立不是一下就學(xué)會(huì)的，必須由淺到深，先模仿老師是怎樣建立模型，用模型去解決問(wèn)題的，然后，在老師的指導(dǎo)下去建立模型，最后才是自己建立模型。

三是具有技藝性。數(shù)學(xué)模型的建立需要一定的技巧，才能事半功倍，否則問(wèn)題會(huì)更加復(fù)雜，這就要求我們認(rèn)真分析問(wèn)題，找到主要作用的因素，利用相關(guān)的條件，建立適用于這一問(wèn)題的模型。

四是具有局限性。萬(wàn)能鑰匙，是鎖就能開(kāi)，而數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，不是靠一個(gè)模型解決的，不同類(lèi)型的問(wèn)題需要不同類(lèi)型的模型來(lái)解決。

20世紀(jì)下半葉以來(lái)，數(shù)學(xué)的變化和發(fā)展就是應(yīng)用，數(shù)學(xué)幾乎滲透到了所有的學(xué)科領(lǐng)域，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流和社會(huì)對(duì)人才的需求，美國(guó)、德國(guó)、日本等發(fā)達(dá)國(guó)家都十分重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，增加數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及日常生活的聯(lián)系，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的總趨勢(shì)。參加了數(shù)學(xué)建模小組學(xué)習(xí)的學(xué)生都認(rèn)為，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題比做純數(shù)學(xué)題更有興趣，因?yàn)閿?shù)學(xué)就是生活，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)。那么如何建立數(shù)學(xué)模型呢？一般是按照模仿—模型轉(zhuǎn)化—模型構(gòu)造的主線進(jìn)行和發(fā)展的。

中考中，應(yīng)用題的數(shù)量和分值逐步增加，命題方式的變化轉(zhuǎn)變了傳統(tǒng)的學(xué)科觀念，結(jié)合了生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐，突出了理論與知識(shí)結(jié)合，理論與實(shí)踐結(jié)合。在應(yīng)用題的教學(xué)中，我主要采用了數(shù)學(xué)建模法，我是這樣分階段進(jìn)行的：

第一階段：結(jié)合教材，以應(yīng)用題為突破口，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，以簡(jiǎn)單建模為主要目的。

這一階段，主要是提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的信心。由于剛開(kāi)始接觸這一新的學(xué)習(xí)方法，所以選擇的例子要貼近教材，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，涉及的內(nèi)容不能太多，要易于理解。此階段的重點(diǎn)是站在提高學(xué)生素質(zhì)的高度，把滲透數(shù)學(xué)建模的意識(shí)作為首要任務(wù)，師生共同討論分析，尋找出等量關(guān)系或函數(shù)關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

第二階段：安排與教材內(nèi)容有關(guān)的典型案例，落實(shí)典型案例的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生初步掌握建模的常用方法，進(jìn)行學(xué)生探究。

到了初二，學(xué)生的知識(shí)逐步增多，教師應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容精心挑選典型案例，有計(jì)劃地讓學(xué)生參與建模過(guò)程，掌握理論分析法、類(lèi)比聯(lián)系法和數(shù)據(jù)分析法等建模方法，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。建模時(shí)，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立完成，然后匯報(bào)、演示，最后教師給予糾正和鼓勵(lì)。

例如，八年級(jí)數(shù)學(xué)“相似三角形”一章中，有一節(jié)活動(dòng)課，“請(qǐng)同學(xué)們測(cè)量一下校園里旗桿的高度”。若直接測(cè)量旗桿的高度很困難，這時(shí)教師提示：運(yùn)用相似的知識(shí)怎樣建立數(shù)學(xué)模型解決這個(gè)問(wèn)題呢？讓學(xué)生討論一下，匯報(bào)、演示他們的結(jié)果：構(gòu)建相似模型就可以解決這個(gè)問(wèn)題。旗桿、旗桿的影長(zhǎng)和光線組成的三角形與竹竿、竹竿的影長(zhǎng)和光線組成的三角形相似，得到公式：旗桿高度∶旗桿影長(zhǎng)=竹竿高度∶竹竿影長(zhǎng)。同學(xué)們恍然大悟，在這個(gè)模型的幫助下，對(duì)于較高的物體，如大樹(shù)、煙囪等，都可以用相似模型來(lái)測(cè)量它們的高度。

第三階段：以建模為核心，通過(guò)建模訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法，看到問(wèn)題，馬上能想到用什么建模來(lái)解決。

建模能力是解題能力的綜合應(yīng)用，它涉及文字理解能力，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的熟悉程度，對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握程度等。師生應(yīng)組成共同體，在教師指導(dǎo)下，學(xué)生能獨(dú)立完成建模活動(dòng)，通過(guò)七、八年級(jí)的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的建模能力，應(yīng)找相關(guān)題目，讓學(xué)生自己去練習(xí)，增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識(shí)，提高他們的應(yīng)用能力。

例如，“關(guān)于x的方程x2-2mx-m+6=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β，試求（α-1）2+（β-1）2的最小值。”一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系是一個(gè)常用的公式，在綜合性題目中，若能運(yùn)用此關(guān)系建立模型解題，可使問(wèn)題巧解。這個(gè)問(wèn)題屬于一元二次方程，應(yīng)馬上想到根與系數(shù)的關(guān)系。方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ≥0，求得m≤-2或m≥3，由根與系數(shù)的關(guān)系得，α+β=2m，αβ=m-6，把這個(gè)關(guān)系代入（α-1）2+（β-1）2中得4m2-2m=10，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)m=3時(shí)有最小

值20。

通過(guò)三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生的興趣培養(yǎng)起來(lái)了，也掌握了一定的建模方法，這樣既拓寬了學(xué)生的解題思路，又培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，也提高了學(xué)生的素質(zhì)。

（作者單位 河北省張家口市涿鹿縣白塔寺中學(xué)）