打磨核心教學細節 追求高效數學課堂——《平均變化率》的磨課實踐和體悟

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“有效”始終是數學課堂教學的永恒追求.在一定程度上，數學課堂是由無數個教與學的細節共同組成的，只有每個細節優化，且每個細節和諧，才能保證數學課堂教學的高效.而細節的優化，來自于對細節反復的“打磨”，就是追求教學的合理化、智慧化、精確化、高效化.近日筆者參加了南通市優質課評比，課的內容是蘇教版選修1-1“導數及其應用”第一節課《平均變化率》，為此對幾個核心教學細節進行了反復思考、打磨，下面就磨課中重點思考的幾個細節談談實踐和體悟.

一、理清核心主線 清晰主動構建

李善良博士明確提出數學課堂教學必須要“理清核心主線，優化教學過程”［1］.一堂有效的數學課，應該有一條主線把教師、學生雙方的理解、傾聽、學習清晰的串起來，形成一條認知線索，促進雙方理解和感悟：對于教師來講，依照設計好的這條主線，能輕松的駕馭課堂，而不是零敲碎打；對學生來說，順著這樣一條主線，能清晰主動構建起課堂所達成的教學目標.可以避免“課堂熱鬧，學生情緒高漲，但感覺是在云霧中行走，不知道這節課的目標是什么”的尷尬，從而不會導致認知的零散而造成學習效率偏低.

本節課是一節概念生成課，此概念來源于生活，有極其豐富的實際背景，要想深刻理解，達成教學目標，就必須先磨好核心主線！筆者遵循“直通始終、明確方向、整體連續”的注意點，理出了下列教學核心主線圖：問題情境→提出問題→學生活動→意義建構→數學理論→數學應用→反思提升，教學效果證明，這是一條行之實效的核心主線.

二、創設生活情境 力求貼切、經濟

情境是一切認知活動的開始，情境創設既要根據教學內容的實際情況和學生的學習能力創設出適合的、貼切的問題情境，又要注意內容容量，力求少而新、少而精，即情境的創設，要力求貼切、經濟，而本節內容有豐富的生活背景，適合創設生活問題情境.

這節課的情境創設主要兩種設想：

設想一：

情境1：讓學生觀看過山車錄像并提出問題：注意觀察過山車在運行過程中有哪些量在發生變化.從而通過過山車在運行過程中位移的變化、速度的變化、曲線的上升下降等具體可視現象概括為在運動過程中變量的變化情況，就是新的一章《導數及其應用》將要研究的問題，從而引出本章課題.

情境2：氣溫隨時間變化的快慢情況（教科書提供的案例）.

設想二：（本人試上后反復打磨，最后參加2013年3月比賽的設計）

情境1：今天到貴校來參加高中數學評優課比賽，非常感謝學校領導對我的信任和同學們對我的支持，我非常珍惜這次比賽，為了及時參加比賽，我特地請了我校的駕駛員小王送我來參賽.可能是因為我比較興奮，一路觀察車速表，40 km/h時，就催促小王快點，10 min后我感覺車速沒有明顯變化，就又看了看車速為60 km/h；感覺時間比較緊，就不斷催促小王加速，年輕的小王跟我開了個玩笑，看看前后無人無車，就使勁踩了一下油門，車子猛地往前一沖，我人一緊張，頭有點暈，身體（稍停頓讓學生有反應想象的時間）往后一仰，我急忙留意了一下車速為80 km/h.同學們，前后兩次速度均變化了20 km/h，為什么第一次提速，我沒有明顯感覺車速變快，而第二次提速我有“緊張、頭暈、后仰”這些反應呢？

情境2：（追問）生活中有沒有類似的例子呢？學生自由舉例（學生嘗試舉例，促使發現感悟內化）.

情境3：同設想一.

【取舍理由】設想一用視頻畫面情境來感悟，長處是畫面感染力強，能激活課堂氣氛，是一個非常好的生活實例，但未必每個學生都坐過過山車，僅靠很短的放映過程很難體會個中滋味；筆者的設想，情境1給學生講自己實實在在經歷的一次事情，用具有潛在意義的、饒有興趣且身邊可以遇到的生活事例創設情境，將教學內容自然呈現在學生面前，用問題抓住學生，激發其探究欲望，讓學生能身臨其中；同時“我重視這次比賽”，也從情感上消除了和學生的陌生感，以情感贏得情感，抓住學生的心靈；再次，不需要計算也不可能計算，目的主要是讓學生初步直覺感知實際生活中的一些變化快慢的問題，了解概念產生的背景.情境2通過學生嘗試舉例，對學生不正確例子的“追問”，促使舉例錯誤的學生從思維深處不斷內化，感悟變化快慢的實質：要從兩個方面（如速度和時間）同時思考問題，教師點評，自然順暢地過渡到情境3.南京大學鄭毓信教授指出：“情景設置不應該僅僅起到‘敲門磚’的作用，還應當在課堂的進一步開展中自始至終發揮重要的向導作用”，因而幾個情境之間一般情況下應該是有梯度、有層次、螺旋上升，層層推進.對比兩種設想，第二個更接近生活，比較簡約、適合、經濟、實用.

三、“情境+問題串”驅動探究學習

人教社章建躍博士認為“如何設法在學生學習中融入問題解決的成分，“問題串”是一種行之有效的方法”.“情境+問題串”是將情境和問題串的教學設計有機地結合起來，用它來引導、啟發、控制學習，指向數學核心概念、核心方法、核心思想的發生發展過程.好的“情境+問題串”一定要能成為一個探究的平臺，以問題串促進學生活動.

1.設置問題串組，探究建構概念

結合上述三個有梯度的情景，筆者設計了問題串組，引導學生在直觀感知的基礎上，主動探究發現，理性構建數學模型，形成數學核心概念、領悟核心思想，擬以設想一中情景2授課的片段為例來說明.

問題串1：觀察2004年4月18日到4月20日的溫度變化，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃，人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果把該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫為18.6℃進行比較，發現兩者溫差為15.1℃，甚至超過了14.8℃，而人們卻不會發出上述感嘆.這是什么原因呢？

圖1

生（幾乎齊聲）：前者變化得“太快”，后者變化得“緩慢”.

師生活動：觀察氣溫隨時間變化的曲線圖如圖1（以3月18日作為第一天，理解圖中A、B、C點坐標的含義）.

師：氣溫“陡增”的數學含義是什么呢？圖像的直觀顯示是什么？

生：（手指圖像自言自語）B，C之間的曲線較A，B之間的曲線更加“陡峭”.

師：好！曲線陡峭的程度直觀地反映了氣溫變化的快與慢，陡峭程度和人對氣溫變化快慢的感覺是完全一致的.

【設計意圖】用氣溫變化給人的感覺作為切入口，“陡增”作為突破口，引發學生思維，用曲線的陡峭程度去刻畫氣溫變化的快慢.

問題串2：如何來量化這個陡峭程度呢？請你說出大致的解決問題的思路.

學生活動：分組研討（前后4人一組），學生討論熱情高漲，思維自由流淌，個個想“表現”一下.

小組代表：曲線陡峭程度不僅跟前后兩段時間內的溫度差有關，還與時間差有關，所以就用溫度差和時間的比值的大小來刻畫曲線的陡峭程度，而且第一段的比值的確是小于第二段的比值的，所以我們用比值來刻畫是合理的.

教師心理：小組學生代表一口氣說完，不僅說出解決問題的方案，而且闡述了理由，雖與我預設的有所差別，但考慮方向完全可取，本以為要“搭橋”提示，沒想到學生回答的很好，我就順水推舟.

師（追問）：能說出具體的解決過程嗎？

師生活動：學生你一言我一語相互補充完善，師生協作一起形成“氣溫隨時間變化關系”表.

師（追問）：如何計算氣溫在區間［1，32］和區間［32，34］上的平均變化率？

【設計意圖】促使學生活動后，自主發現可以用氣溫的平均變化率來近似地刻畫氣溫的變化快慢、曲線的陡峭程度.

問題串3：我們把氣溫曲線圖看作是某個函數f（x）的圖像，取它的某個區間［x1，x2］對應得曲線段PQ，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是兩個端點，類似于氣溫在區間［t1，t2］上的平均變化率的概念，函數在區間［x1，x2］上的平均變化率能用一個什么樣的代數式表示？

【設計意圖】由氣溫平均變化率概念抽象推廣到一般函數平均變化率概念，體現了由特殊到一般的思想和數形結合的思想.

點評：以上三組“問題串”由淺入深，層層遞進，環環相扣，經歷了三個不同層次，即“實際生活中的平均變化率—圖形中的平均變化率—函數的平均變化率”，通過活動，讓學生經歷了對核心概念、核心思想的發現、揭示、概括和理解的過程.

2.重組挖掘例題，探究反思提高

有價值的例題常具有三性：問題類型的典型性、答題過程的規范性、學后反思的探究性.通過對例題進行適當的變式（思考、追問、變題、重組、拓展）的訓練，挖掘顯現概念的內涵及其外延，展示“普通”題目背后的“精彩”，讓學生在課堂上享受探究的快樂，真正實現對概念意義的建構，同時在對問題的探究中，產生新的疑問和需求，為下一節瞬時變化率的講解作鋪墊.

教科書中共安排四個例題，其中例1、例2兩題是平均變化率在生活中的應用；例3、例4是平均變化率在數學內部的應用.筆者在參加比賽時，考慮到例1、例2兩題均是平均變化率在生活中的應用，它們的平均變化率又恰好一正一負，故在處理這兩個例題時將“例2”調整為“例1的練習”，使之互為補充；例4是一次函數，例3是二次函數，從函數次數和學生的認知習慣，決定把例4改為例2；考慮到例3中是將其屬性延伸，既承上又啟下，這樣一來就將教材中的“例3”就調整為最后一個例題.這種設計既突出了教材的“綱”的功能，又體現了教者對教材的“個性化解讀”以及“二次開發”性，并為建模提供有力的材料，使學生從數和形兩個角度建立模型.

圖2

例1 嬰兒小遠從出生到第12個月的體重變化如圖2所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月，小遠體重的平均變化率.

思考1：如何解釋從出生到第三個月，嬰兒體重平均變化率為1（kg/月）？

思考2：本例中兩個平均變化率的數值不同的實際意義是什么？

（改編）練習：如圖3，水經過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積V（t）=5×2－0.1t（單位：cm3），計算第一個10s內V的平均變化率.

圖3

追問1：保持其他條件不變，第一個10 s內乙容器中水的體積的平均變化率為多少？你能口算嗎？

追問2：正負值分別表示什么實際意義？

【設計意圖】幫助學生進一步理解平均變化率的實際意義，感悟數學源于生活，增強學生用數學的眼光看問題的意識.

例2（1）已知函數f（x）=2x+1，分別計算f（x）在區間［-3，-1］，［0，5］上的平均變化率.

（2）已知函數g（x）=-2x，分別計算g（x）在區間［-3，-1］，［0，5］上的平均變化率.

設問1：若在區間［-4，2］，［3，7］，…上述平均變化率分別怎樣？

設問2：若在區間［m，n］，上述平均變化率分別怎樣？

師生活動（完成下表）：

追問1：你從例2中發現一次函數y=kx+b在區間［m，n］上的平均變化率有什么特點？

追問2：為什么一次函數在任意區間上的平均變化率都是直線的斜率k？

拓展：我們把氣溫曲線圖看著是某個函數f（x）的圖像，取它在某個區間［x1，x2］對應得曲線段PQ，P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是兩個端點，聯想直線y=kx+b任意區間上的平均變化率都等于斜率k，函數f（x）在區間［t1，t2］上的平均變化率有什么幾何意義？為什么？

【設計意圖】挖掘出一次函數在某閉區間上的平均變化率的幾何意義，拓展到一般函數在閉區間上的幾何意義

例3已知函數f（x）=x2，分別計算f（x）在下列區間上的平均變化率：

（1）［1，3］；（2）［1，2］；（3）［1，1.1］；（4）［1，1.001］.

設問1：若在區間［1，1.0001］，［1，1.00001］，…上述平均變化率分別怎樣？

設問2：若在區間［1，1+Δx］，上述平均變化率分別怎樣？師生活動（完成下表）：

追問1：當左端點取值1保持不變，右端點取值不斷接近1時，平均變化率怎么變化？

圖4

追問2：如圖4，由直線AB，轉到直線AC，再轉到直線AD、AE…時，直線變化趨勢怎樣？

【設計意圖】與后續的“瞬時變化率”以及“導數的概念”接軌，滲透了數學思想方法，對后續的學習也起到了一定的鋪墊作用.

點評：以上四個看似簡單的例習題，但卻是反復推敲精選細挑的.通過重組、改編、提問、探究，從例習題中拋出問題，讓學生積極探究，通過活動探究使知識得以拓展完善，使解題方法得以磨練，思維得以升華，因而探究例題教學也是一個高效課堂不可或缺的重要細節.

四、滲透思想方法，內化升華素質

發展思維是數學教學的核心，滲透思想是數學教學的靈魂.這節課筆者主要在以下三個環節適時對學生滲透數學思想方法：首先，在知識形成過程中，設計問題串1至問題串3，借助氣溫曲線圖來直觀反映氣溫變化的快慢，反過來通過平均變化率來精確刻畫曲線的陡峭程度，通過問題的解決知識的形成，滲透了“數形結合”的數學思想.其次，在問題探索、解決過程中揭示數學思想方法，例2、例3及由此精心設計的思考、追問、變題、重組、拓展，先計算一次函數在一些特殊數值閉區間上的平均變化率，歸納猜想出一次函數在任意閉區間上的平均變化率，進而挖掘出一次函數平均變化率的幾何意義、任意函數平均變化率的幾何意義，使學生切身嘗試解決問題的一般規律方法：“特殊→一般→特殊→一般”.再次，筆者在“課堂小結，雙管齊下”師生交流環節中，請學生談談：這堂課你學到了哪些主要知識，體會到哪些思想方法？目的是在小結和回顧中提煉概括數學思想方法，可以把數學學習上升到一個更高的層面，促使學生認識從感性到理性的飛躍，其最終目的是要學會運用數學知識和思想方法分析和解決實際問題，所以“滲透思想方法，內化升華素質”也是有效課堂必須具有且認真打磨的核心細節.

1.李善良.理清核心主線 優化教學過程［J］.中學數學月刊，2011（10）.