讓研究教材成為一種習慣——從教材對正弦定理證明的設置看新課標理念的變化

☉云南省大理第一中學 王永生

學校本學期開展同課異構教研活動，從而推動新課標理念在課堂教學中的落實.數學組選擇的課題是人教社A版必修5第一章《解三角形》第一節《正弦定理》的第一課時.通過對教材的深入研究，結合對以前教材的認識，從教材對正弦定理證明的設置，可看出新課標理念有以下一些變化.

一、利用兩個探究體現了新課標的特色

布魯納認為：探索是數學教學的生命線.倡導積極主動、勇于探索的學習方式，力求通過各種不同形式的自主學習和探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，這是高中《新課程標準》提出的重要理念之一.教材利用兩個探究充分體現了這一理念.

第一個探究是“我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，我們是否能得到這個邊、角關系準確量化的表示呢？”.“問題是數學的心臟.有了問題，思維才有方向；有了問題，思維才有動力；有了問題，思維才有創新.”一個良好的數學問題情境，能集中學生的注意力，誘發學生思維的積極性，引起學生更多的聯想，也比較容易調動起學生已有的知識、經驗、感受和興趣，從而更加自主參與知識的獲取過程、問題的解決過程.現代建構主義學習觀和教學設計理論都把問題解決作為建構性學習的基本策略.美國、澳大利亞等國對此問題也作了深入的研究，認為問題是思維的開始，問題解決過程就是思維發展過程，提出了拋錨式教學.可見，教材如此設置不僅為了彰顯新課標的理念，而且符合現代教育教學的理論，更重要的是能促進學生自主學習，從而能較好地改變學生的學習方式.

第二個探究是“當△ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？是否可以用其他方法證明正弦定理”.教材一改以往對證明的完整呈現，對學生力所能及的學習活動，以探究的形式進行設置，這是新教材最大的特點.其中第一個問題可在課內組織學生完成，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，而第二個問題可課內也可課外展開,從而使探究活動走向深入.

整個證明的設置從探究開始，以探究結束.一方面充分體現了新課標教材編寫的特點，另一方面彰顯了新課標“通過各種不同形式的自主學習和探究活動，讓學生體驗數學發現和創造歷程”的理念.更重要的是使學生“養成了獨立思考、積極探索的習慣”.

二、對證明方法的選擇突出了對學生創新能力的培養

一是這種證法充分尊重學生初中已學知識，從學生的“最近發展區”入手進行設計，使新知識的形成顯得較為自然，讓學生很好地體驗了數學“再創造”的過程，從聯系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構.

二是這種證法含有較多的數學思想方法，從直角三角形到銳角三角形，再到鈍角三角形的推導過程完全按“分類討論”的思想進行設置；通過作高將銳（鈍）角三角形轉化為直角三角形進行證明體現了“轉化與化歸”的思想；將三角形中的邊角關系用數學式子進行表達體現了“形數化”的數形結合思想.特別是銳角三角形中，將所作的高置于兩個直角三角形中分別計算，從而得出等式的方法體現了“算兩次”的思想.“算兩次”，又稱富比尼（G.Fubini）原理.作為一種重要的數學解題方法，它實質上是方程思想的具體應用.

三是這種證法從特殊的直角三角形入手，通過“觀察—歸納—猜想—證明”的過程，充分展現了知識發生、發展和形成的科學過程.同時歸納與演繹并用，突出了對學生思維能力的訓練.史寧中認為：“思維訓練主要靠兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力”，而“從方法、思維角度來說，過去雙基教育缺少了對歸納能力的培養，對學生未來走向社會不利，對培養創新人才不利.”教材所選擇的證法恰恰較好地展現了“從特殊到一般”的歸納法的應用.

以上三個方面從一個角度體現了與時俱進地認識“雙基”的新課標理念；更重要的是整個證明突出了對學生思維能力的培養，從而提高學生的數學素養和創新能力.這是數學學科有別于其他學科最顯著的地方，也是新課標最重要的理念.當然也是考試大綱對學生能力的一個重要要求.可見，教材選用這種證法，確實是用心良苦.

三、證明方法不同階段的呈現體現了“教師要從整體上把握教材”的理念

以上僅是我從正弦定理的證明所看到的新課標理念的一些變化.事實上，新課程以促進學生全面、持續、和諧的發展作為基本出發點，重視學生對數學全面正確的認識和理解，并更加關注學生在思維能力、情感態度與價值觀等方面的發展與進步.同時更加注重應用，體現數學的文化價值，注重信息技術與數學課程的整合等.只要以新課標理念作指導，正確理解并從整體上把握教材，以探究引路，突出學生思維能力的培養，就一定能培養出具有一定數學素養的創新人才.

1.中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.史寧中.《數學課程標準》的若干思考［J］.數學通報，2007（5）.

3.徐江培.展示知識發生發展的過程是數學教學的本質［J］.中國數學教育，2012（9）.