對一道自主招生題的另證和再推廣

☉

文［1］作者利用貝努利不等式得到命題1：設x1，x2，…，xk為實數，k為正整數，且x1+x2+…+xk=1，

在另證命題1之前先介紹一下凸函數的兩個性質：

1.若函數y=f（x）在定義域D上二階可導，則y=f（x）在D上為下凸函數的充分必要條件是f″（x）≥0.

筆者利用下凸函數的性質另證命題1.

命題1得證.

利用下凸函數的性質可以將命題1推廣為：

定理1 設x1，x2，…，xk為實數，k為正整數，且x1+x2+…+xk=1，α=2（tt≥1且t∈R），求證：

事實上，令f（x）=xα，則f″（x）=α（α-1）xα-2=2（t2t-1）x2t-2=2（t2t-1）（x2）t-1≥0.所以，由性質1知，f（x）在R上為下凸函數.于是，由性質2知，

下面筆者再將文［1］的命題2推廣為：

事實上，當x1，x2，…，xk全不為零，由［2］的權方和不等式知，

綜上，定理2成立.

最后，筆者介紹一個稍微弱一點的定理：

定理3 設x1，x2，…，xk為正實數，a1，a2，…，ak為正實數，且x1+x2+…+xk=1，則

（1）當α＞1或α＜0時，

（2）當0＜α＜1時，

（1）的證明：事實上，由［2］的權方和不等式知，

（2）的證明：事實上，由［2］的權方和不等式知，

當0＜α＜1時，a1x1α+a2x2α+…+akxkα

1.趙思林，李正泉.2009年清華大學自主招生一題的簡解與推廣［J］.數學通訊（下半月），2010（11）：53.

2.沈文選.走進教育數學［M］.北京：科學出版社，2009：323.