對圓錐曲線定點弦三個性質(zhì)的推廣

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文［1］中給出圓錐曲線的三個性質(zhì)，整理如下：

性質(zhì)1：（文［1］性質(zhì)12）與圓錐曲線焦點弦IJ所過焦點同側(cè)的頂點是B，另一頂點是A.焦點弦端點I、J與A連線分別交相應(yīng)準線于點M、N，則N、B、I三點共線，M、B、J三點共線（拋物線的另一頂點A在無窮遠處）.

性質(zhì)3：（文［1］性質(zhì)17）橢圓的焦點弦所在直線被橢圓及短軸直線所分向量比之和為定值；雙曲線的焦點弦所在直線被雙曲線及虛軸直線所分向量比之和為定值；拋物線的焦點弦所在直線被拋物線及頂點處切線所分向量比之和為定值.

推廣1.2：給定拋物線y2=2px及平行動弦EF，設(shè)動弦中點軌跡所在直線q（平行于x軸）交拋物線于D點，在直線q上取N、M兩點（M在拋物線內(nèi)），使DM=DN，過點N作與EF平行的直線l，過點M任意作直線交拋物線于A、B兩點，作直線BC∥q交l于C，則A、D、C共線.

圖1

推廣2.2：如圖1，給定y2=2px及平行動弦EF，設(shè)動弦中點軌跡所在直線q（平行于x軸）交拋物線于D點，在直線上q上取M、N兩點（M在拋物線內(nèi)）使DM=DN,過點M任意作兩直線分別交橢圓（雙曲線）于A、B；R、S點.延長AR、SB交于點H，則H點軌跡為過點N與EF平行的直線.

證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），平行動弦EF所在直線方程為x=ky+d（k為定值，d為變量），與y2=2px（p＞0）聯(lián)立，消去x，得y2-2pky-2pd=0.

以D點為新坐標原點，NM所在直線為x′軸，過D點與EF平行的直線為y′軸建立新坐標系.

在新坐標系中，設(shè)M（x0，0），N（-x0，0），A（xA，yA），B（xB，yB），

聯(lián)立①、②得y′2-2p（k2+1）my′-2p（k2+1）x0=0，

同理可設(shè)直線RS方程為x′=ty′+x0，得

即證H點軌跡為過點N與EF平行的直線.

推廣1.1可由推廣2.1導(dǎo)出：推廣1.1中的弦DH、AB是過點M的兩弦，由推廣2.1，HB、AD延長線的交點在l上，又HB交l于點S，故S、D、A三點共線，同理R、D、B三點共線.

推廣1.2可由推廣2.2導(dǎo)出：推廣1.2中的弦AB、射線DM是過點M的兩弦（射線與拋物線另一交點在無窮遠處），由推廣2.1，AD延長線與B點和無窮遠處連線（過B點平行于q的直線BC）的交點在l上，又BC交l于點C，故A、D、C三點共線.

推廣2.1的證明與推廣2.2類似，由于篇幅限制，此處略.

圖2

聯(lián)立直線HN和直線OQ方程，得其交點

圖3

推廣3.2：如圖3，給定拋物線及平行動弦EF，動弦中點軌跡所在直線q（平行于x軸）交拋物線于D點，記過D點平行于動弦EF的直線為DQ，過q上任一點K的弦所在直線被拋物線及直線DQ所分向量比之和為定值-1.

推廣3.2的證明方法與推廣3.1類似，本文不再給出.

結(jié)論

1.聞杰.圓錐曲線結(jié)構(gòu)思想與解題策略［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2010.

2.丁振年.對圓錐曲線兩個性質(zhì)的推廣的再推廣［J］.昭通師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2003，5：18-20.