挖掘隱含結論 提煉有效模型

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著名數學家波利亞在《怎樣解題》一書中將數學解題劃分為4個階段：理解題意、擬定方案、執行方案、回顧.他在“回顧”中告誡我們：你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？這要求教師在平時的教學中，不必一味地求全、求多、求難，而應找準學生的“最近發展區”，多以教材的例題、習題為素材，深入淺出、舉一反三地推敲、適當變形、拓展延伸，做好知識的正遷移，提升教學的有效性.現以教材中的3道習題為題源，談談如何挖掘隱含在教材習題中的一般結論，然后用提煉得到的模型解決與之相關的中考題，從而實現“抓住一個模型，解決一類試題”.

一、模型來源

課本中的習題大都經過專家精挑細選，大多具有典型性、示范性、遷移性和再生性，這些題目是具有生長性的“母題”，將它們類比遷移、拓展延伸、加工改造、加強條件或減弱條件后便可以延伸出一個個新的命題，而這些命題往往是中考命題極好的材料.

原題1（浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級下冊第113頁第6題）已知直角坐標系內四個點A（a，1）、B（b，1）、C（c，-1）、D（d，-1）.四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？如果你認為是，請給出證明；如果你認為不一定，請添加一個條件，使它一定是平行四邊形.

原題2（浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級下冊第116頁第4題）已知在直角坐標系中，四邊形ABCD四個頂點的坐標分別為A（-，-）、B（1，-1）、C（，）、D（-1，1）.四邊形ABCD是不是平行四邊形？請給出證明.

原題3（浙教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》八年級下冊第137頁第5題）在直角坐標系中，有點A（a，b）、B（a，c）、C（-a，-b）、D（-a，-c）（a≠0，b≠c）.若要使四邊形ABCD是矩形，b、c應滿足什么條件？說明你的理由.

二、模型提煉

現將上述3個原題可歸結為：在平面直角坐標系中探索平行四邊形頂點坐標的問題，而此類問題恰恰是各地中考壓軸題熱點題的“基石”.現歸納如下：

如圖1，點A、B、C是坐標平面內不在同一直線上的三點.

（1）畫出以A、B、C三點為頂點的平行四邊形；

（2）若A、B、C三點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），寫出第四個頂點D的坐標.

圖1

圖2

解：（1）如圖2，以A、B、C三點為頂點的平行四邊形有三個：以BC為對角線，有?CABD1；以AC為對角線，有?ABCD2；以AB為對角線，有?ACBD3.

（2）?CABD1可以看作是將線段AC沿AB方向平移到BD1形成的.A→B橫坐標增加（x2－x1），縱坐標增加（y2－y1）（增加量為終點坐標減去起點坐標）.

由坐標平移性質：點C→D1橫坐標也增加（x2－x1），縱坐標也增加（y2－y1），故D1點的坐標為（x3+x2－x1，y3+y2－y1）.

同理得D2點的坐標（x3+x1－x2，y3+y1－y2）、D3點的坐標（x2+x1－x3，y2+y1－y3）.

三、歸納總結

1.在同一平面內，已知不在同一直線上的3個點（不妨設點A、B、C），另找一個點D使其成為平行四邊形，這樣的點D有三種可能：∠D分別為∠A、∠B、∠C的對角.

2.在平面直角坐標中，平行四邊形對角頂點的橫坐標之和相等，對角頂點的縱坐標之和相等，即在平面直角坐標中，若平行四邊形ABCD的四個頂點為：A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），則xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

在教學中，教師要關注教材，研究教材中典型的習題，把握教材的編寫意圖，對教材中的習題要從不同角度進行延伸、拓展和變式，深入挖掘知識體系中所蘊含的數學思想方法，這是解答其他相關問題的有效數學模型.

四、結論應用

由于這類試題多以壓軸題形式呈現，所涉及的知識比較多，題目綜合性強，有些題目甚至比較難解.現在用上面兩個結論解決平面直角坐標系中有關平行四邊形的頂點存在問題，往往能化難為易.

（一）已知三個定點的坐標的具體數值，確定第四個動點的坐標

（1）求點A、B的坐標.

（2）在坐標平面上找點C，使得以A、O、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形.

①這樣的點C有幾個？

圖3

圖4

解：（1）由題意易求得A（-1，1）、B（2，2）.

（2）①存在這樣的C點，有3個.

由于B（2，2）、O（0，0）、A（-1，1），設C（x，y），根據上述結論，易得三種情形.

綜上所述，坐標平面內存在點C，使得以A、O、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，其坐標可為C1（－3，－1）、C2（1，3）、C3（3，1）.

②略.

評析：此題屬于已知三個定點，探究平行四邊形的第四個頂點的坐標問題.當三個點的坐標確定后，第四個頂點可直接應用上述結論建立關系，再通過計算得出所求坐標.運用此法的優點在于點C與其他頂點只有3種組合方式，不會產生漏解現象，且對學困生而言，能按“模型”索“答案”.由此可見，熟悉模型思想無疑對解決類似問題十分有益.

（二）已知三個定點的坐標中都含有參數，確定第四個動點的坐標

（1）填空：試用含a的代數式分別表示點M與N的坐標，則M（____，____），N（____，____）.

（2）如圖5，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積.

（3）在拋物線y=x2－2x+a（a＜0）上是否存在一點P，使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，試說明理由.

圖5

圖6

評析：此題與例1有所不同，雖已知三個點的坐標，但含有參數，難度增加.故其解題思路為：設點P的坐標為（m，n），運用上述結論，建立方程組，解得m、n的值，代入函數解析式，最后求出點P的坐標.本題綜合性強，對學生動手能力、探究能力，以及分類討論思想的要求較高，很好地體現了新課改的理念.

（三）已知兩個定點的坐標的具體數值，探究另兩個動點的坐標

例3 （2011年涼山州）如圖7，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜x2，與y軸交于點C（0，－4），其中x1、x2是方程x2－4x－12=0的兩個根.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標.

（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

圖7

圖8

所以當m=2時，S△CMN取得最大值4.

此時，點M的坐標為（2，0）.

圖9

圖1 0

存在4個這樣的點F.

設點F（x，0）、E（m，n）.由于D（4，-4）、A（-2，0），根據上述結論，易得三種情形.

由于點E在拋物線上，把點E的坐標代入函數解析式，化簡、整理得x2+8x+12=0，解得x1=-6，x2=-2（與點A重合，舍去），所以點F1（-6，0）.

評析：解題思路為：設點E的坐標為（m，n），運用上述結論，建立方程組，解得m、n的值，代入拋物線的函數解析式，解出x的值，求得點F的坐標，再畫出圖形檢驗正確性，不滿足題意的點應舍去，從而得到符合題意的答案.

通過以上幾例不難看出，在解決有關拋物線與平行四邊形的問題中，關鍵是要靈活運用上述模型結論，形成模型的思想，以解決一個問題來貫通一類問題.解題時還要恰當地運用數形結合思想、方程思想、函數思想、分類討論思想.因此，教師在平時的教學和復習中，要尋找一些具有“廣闊發展前景”的教材例題、習題或數學素材，深入研究，進行恰當的總結、延伸和拓展，探索利用模型解決問題的新方法，啟迪學生的數學智慧，培養學生的創新意識，提升學生的數學素養，從而提高中考復習的效率.

1.李玉榮.例談一道作圖題的應用［J］.中國數學教育（初中版），2011（11）：37-39.

2.葉麗仙.巧妙解決平行四邊形中頂點的坐標［J］.初中數學教與學，2011（6）：22-23.WG