中考數學壓軸題的結構分類評析

☉江蘇省泗陽縣實驗初級中學 朱宜新

中考數學壓軸題，涉及知識點多，解答過程運用多種數學思想方法，具有一定的綜合性、選拔性.這種題型多采用“組合型”的結構形式，搞清“組合型”壓軸題中總條件與分題間及分題與分題間的結構關系，對于題目的圓滿解決是十分必要的，根據題目的結構關系，壓軸題常分為下列三種類型.

一、“串聯式”結構

“串聯式”結構的壓軸題，除了總條件“統領”全題外，前一個分題的結論，可以作為后一個分題的條件來使用，沒有前一分題解（證）的結論，就無法解（證）下一個分題.

它的結構示意圖如圖1所示.

圖1

例1 （2012年山東臨沂市中考）如圖2，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置.

（1）求點B的坐標；

（2）求經過點A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：本題融合了函數解析式的確定、等腰三角形的判定等知識.主要考查了學生的閱讀理解能力、分類討論能力、邏輯推理能力，難度較大，具有一定的選拔功能.

解：（1） 如圖2，過點B作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCD=90°.

因為∠AOB=120°，所以∠BOC=60°.

又因為OA=OB=4，

圖2

所以點B的坐標是（－2，－2）.

（2）因為拋物線過原點O和點A、B，所以可設拋物線的解析式為y=ax2+bx.

（3）存在，如圖2，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y）.

①若OB=OP，則22+y2=42，解得y=±2.

當y=2時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，所以∠POD=60°.

所以∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°.

即P、O、B三點在同一條直線上，所以y=2不合題意，舍去.

所以點P的坐標為（2，－2）.

②若OB=PB，則42+（y+2）2=42，解得y=－2.

所以點P的坐標為（2，－2）.

③若OP=BP，則22+y2=42+（y+2）2，解得y=－2.

所以點P的坐標為（2，－2）.

綜上，符合條件的點P只有1個，其坐標為（2，－2）.

點評：由于“串聯式”結構的壓軸題上下呈承接關系，所以需強調解題的正確性，顯然如前一分題解答有誤，則解答以后幾個分題，將會勞而無功，另外這種題型若前一分題不會解（證），亦可拿前一分題的結論來解（證）下一分題，結果仍然有效.

二、“并聯式”結構

“并聯式”結構的壓軸題，總條件“統領”每一個分題，但每一個分題卻又是“獨立”，呈并列關系，它的結構示意圖如圖3所示.

圖3

例2 （2012年寧夏回族自治區中考）如圖4，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E.

（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；

（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式，當x取何值時，y有最大值？最大值是多少？

（3）連接BD，若PE∥BD，試求出此時BP的長.

分析：本題綜合考查了利用二次函數求最值、相似三角形、一元二次方程等知識.

解：（1）因為△APE≌△ADE，所以AP=AD=3.

圖4

在Rt△ABP中

（2）因為AP⊥PE，所以Rt△ABP∽Rt△PCE，

若PE∥BD，則△CPE∽△CBD.

整理得3x2－13x+12=0，

點評：本題的三個分題除總條件不變外，分題的條件各不相同，所以前一個分題的結果不能成為后一分題的條件，這種結構的壓軸題，做對任何一分題都是有效的，都能得分，即使前一分題不會做或做錯了，也不影響下一分題的解答或得分.

三、“混聯式”結構

“混聯式”結構的壓軸題，除總條件仍“統領”每一個分題外，有的分題也“統領”下一個分題，分題與分題間既有承接關系，又有并列關系.它的結構示意圖如圖5所示.

圖5

（1）求拋物線的解析式；

圖6

（3）設點M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長.

分析：本題考查了二次函數的性質、平移、相似三角形等知識.第（1）問將A、B兩點坐標代入即可求該拋物線的解析式.第（2）問先求出直線AB、AC的解析式，再根據平移條件，表示出平移后的二次函數的解析式，用含m的代數式表示出其頂點坐標，將坐標代入直線AB、AC的解析式中，即得到兩個極端值，從而確定點P在△ABC內時m的取值范圍.第（3）問先在OA上取點N，使得∠ONB=∠ACB，所以只需使∠NBA=∠OMB即可，從而確定在y軸的正負半軸上都有一個符合條件的M點，然后證△ABN與△AMB相似，通過相關比例線段求出AM的長.

（2）由題意得，新拋物線的解析式可表示為

它的頂點坐標P（1－m，－1），由（1）的拋物線解析式可得C（4，0），那么直線AB的解析式為y=－2x－4，直線AC的解析式為y=x－4.

當點P在直線AC上時，（1－m）－4=－1，解得m=－2.

（3）由A（0，－4）、C（4，0）得OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形.

如圖6，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°.

所以∠ONB=∠NBA+∠CAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠OMB=∠NBA.

在△ABN1、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=AM1B，所以△ABN∽△AM1B.

所以AB2=AN·AM1，

易得AB2=（－2）2+42=20.

AN=OA－ON=4－2=2，

所以AM1=20÷2=10.

所以DM1=AM1－OA=10－4=6.

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

所以OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2.

綜上所述，AM的長為10或2.

點評：“混聯式”結構的壓軸題，特別要搞清分題與分題之間的關系，即前一個分題的條件或結論，下一個分題能否使用，就要搞清分題與分題間是“串聯”關系的結構，還是“并聯”關系的結構，萬不可盲目亂用，徒勞無功.