含參數及絕對值的二次函數解題策略初探

☉江蘇省無錫高等師范學校 張 超

高中數學以函數為主線，而二次函數作為中學階段函數的典型代表，其應用十分廣泛.縱觀近十年高考題，有關含參數及絕對值的二次函數綜合性試題，由于呈現出命題立意新穎、綜合性強、解題難度大等特點，更是成為了高考命題的新熱點，且往往以壓軸題的形式出現，學生解答較困難.引導學生對高三復習經典題型進行探究與解題思想歸類，有助于開拓學生思維，培養學生思維品質和創新能力.為此，我們首先對此類含參數及絕對值的二次函數圖像和性質進行梳理，并對此類題型的常用求解策略進行例析，供參考.

一、知識梳理

即絕對值函數可以轉化成分段函數，對于分段函數給定自變量求函數值時，應根據自變量的范圍，利用相應的解析式直接求解；若給定函數值求自變量，應根據函數每一段的解析式分別求解，但應注意檢驗該值是否在相應的自變量取值范圍之內；若其中含有參數，要對參數的范圍進行討論.

二、策略探究

策略1：“以形助數”為主，“以數定形”為輔

例1 （2010·全國卷Ⅰ）直線y=1與曲線有4個交點，則實數a的取值范圍是________.

圖1

點評：本題體現了數形結合的思想，它常用來研究方程根的情況、討論函數的值域（最值）及求變量的取值范圍等，對這類內容的選擇題、填空題，數形結合特別有效.從歷年的高考題來看，數形結合的重點是研究 “以形助數”，但“以數定形”也不容忽視.

策略2：運用思想方法靈活轉化試題

以絕對值函數為載體，運用函數、方程及不等式的思想，借助三者之間的依賴關系，靈活轉化，解決運動和變化中出現的問題，能給學生提供思考的空間，使他們的聰明才智在解題中得到充分的展示，進而體現了高考數學考素質，考能力的要求.

例2（2009年揚大附中高三調研卷）若函數f（x）=圖像上存在點P（x1，f（x1））對任意a∈（－1，3］都不在x軸上方，求b的最小值.

解析：由已知，對任意a∈（－1，3］，存在x有f（x）≤0，即可令，h（x）=－x2+b，函數g（x）與h（x）的圖像如圖2，當a=3或－1時，有g1（x）=.比較函數g（x）與h（x）的圖像位置可以發現，當拋物線h（x）與射線g（x）=x+3相切時，b有最小值.故由，消去y有x2+x+3－b=0，由Δ=0解得b=故b的最小值為

圖2

點評：本題將已知條件轉化為?a∈（－1，3］，?x有f（x）≤0，進而轉化為g（x）≤h（x），通過比較g（x）與h（x）的圖像的位置找到解題途徑.解答關鍵是由條件和圖像確定a和b的取值范圍，去掉絕對值符號得到a與b的關系式，再消元轉化為復合函數求值域.

策略3：實施“分類討論”，分層解決問題

當所研究的問題含有參數時，往往要對參數進行討論.分類時注意要全面，本著“不重復，不遺漏”的原則進行，最后要有概括性的總結，敘述時力爭做到條理簡潔，語言精練.

例3（2009年上海市盧灣區高考一模）設函數f（x）=，常數a為實數）.

（1）若f（x）為偶函數，求實數a的值；

（2）設a＞2，求函數f（x）的最小值.

解析：（1）a=0（略）.

點評：本題第二問首先要根據絕對值的意義，將所給函數化為熟知的分段函數，然后結合a的取值范圍和每一段的一元二次函數的單調性求出每一段的最小值，最后只需比較兩最小值的大小，取較小的即可.

總之，在求解含參數及絕對值的二次函數問題中，讓學生充分重視絕對值函數的類型及其轉化方法是解題的關鍵，掌握二次函數的圖像和性質，并充分重視數型結合思想是突破難點的重要手段.

1.孫福明.二次函數壓軸題的解題策略［J］.數學通訊，2003（15）.

2.于亦香.對一道函數絕對值問題的探究［J］.中學數學，2012（7）. ■