隨機互補問題在供應鏈網絡均衡問題中的應用

瑛瑛

（呼倫貝爾學院 數學科學學院，內蒙古 海拉爾 021008）

隨機互補問題在供應鏈網絡均衡問題中的應用

瑛瑛

（呼倫貝爾學院 數學科學學院，內蒙古 海拉爾 021008）

針對帶有隨機需求的有制造商，零售商，和需求市場的三層供應鏈結構網絡模型,分別對于制造商、零售商與需求市場的決策者的獨立決策行為及其相互作用進行了分析,利用變分不等式構建了各層均衡模型以及系統均衡模型,得到了系統達到均衡的條件；給出了經濟解釋；最后給出一個具體算例并利用求解隨機非線性互補問題的光滑化樣本均值逼近方法進行求解.

供應鏈網絡；隨機需求；均衡；隨機互補問題

2002年，Nagurney等人[1]研究了有三層決策者:生產商、零售商和消費者的供應鏈網絡.針對這個供應鏈網絡，他們綜合考慮了每層決策者的最優決策從而給出了均衡條件，建立了相應的有限維變分不等式模型.隨后，Dong等人[2]討論了包含生產商和零售商兩層決策者的供應鏈網絡.與[1]不同，Dong等用產品的隨機需求代替消費者，再考慮這個應用更加廣泛的供應鏈網絡模型.最后，在這個模型含有的隨機需求的概率分布已知的假設下，他們用相應函數的數學期望給出了其變分不等式形式的均衡條件.Wa 用品[3]等人考慮了由生產商、批發商和零售商三層決策者組成并具有傳統市場和電子市場形式的供應鏈網絡均衡模型，并把該模型轉化成隨機非線性互補問題.Luo[4]等人考慮含有隨機需求的，且帶有生產產量限制的供應鏈網絡模型，給出了該模型的均衡條件并把它轉化成了帶有約束的隨機變分不等式問題.

這里作為隨機非線性互補問題的應用，我們考慮帶有隨機需求的有制造商，零售商，和需求市場的三層供應鏈結構網絡模型，與文獻中模型不同的是，我們假設零售商的隨機需求的概率分布是已知的，而需求市場的隨機需求的概率分布是未知的.

1 模型描述

我們假設所有的生產商和零售商之間都是非合作競爭以自己的利益最大，并且生產商生產同一產品.我們假設在這個供應鏈網絡中有m個生產商和n個零售商及0個需求市場.下面本文將對制造商，零售商及需求市場進行逐層研究，分別對供應鏈各層成員的決策行為進行描述，利用變分不等式描述各層均衡條件，并給出經濟解釋.

1.1 制造商市場均衡模型的建立

令fi表示生產商i的生產費用函數，qi表示第i個生產商的生產量，從第i個生產商到第j個零售商之間的產品運輸量記為qij(i=1,…,m;j=1,…,n).Q1=(q11,q12,…,qmm)T是由所有生產商的生產產量組成的mn維向量.fi=fi(Q1),?i(此函數也許只與qi有關.但為了提高此模型的適用性，我們假設它與Q1有關 流量守恒）.ρ1ij,cij(qij)分別表示制造商i同零售商j交易產品所發生的批發價格和交易成本(含運輸成本).

對制造商i而言，以實現利潤最大化為目標，則制造商i利潤最大化的優化模型為：

假設每個生產商的生產費用函數和交易費用函數均為連續，凸的.由于每個生產商相互之間都是Nash（1950,1951）-Cournot（1838）博弈，可寫出問題（1）的最優性條件，Nash-Cournot均衡可寫成下面的變分不等式（參[5]）:

由(2)式表示的最優性條件的經濟解釋為：如果零售商購買產品愿意支付的價格恰好等于生產商的邊緣生產費用與交易費用的和，則生產商給零售商的運輸量是正的.相反，如果生產商的生產費用與交易費用的和超出了零售商所愿意支付的價格，則生產商給零售商的運輸量是零，即他們之間不產生交易.

假設每個零售商的交易處理費用是連續凸的，則零售商的最優性條件滿足：求，使得：

零售商最優性條件的經濟解釋為：不等式（4）式的第二項表示，如果需求市場k中的消費者從某一個零售商j購買產品，即，則零售商j的索價恰好等于從不等式（4）的第三項又可看出，這也是從零售商j清空市場的價格.從不等式（4）的第二項也能看到，如果某一零售商沒有售出產品，則他保留產品的價格超出了他對產品的索價.接著，從不等式（4）的第一項看到，若生產商i和零售商j之間有產品流量，則等于零售商j的支付價格ρ1ij加零售商j的邊緣處理費用，還有多余需求的懲罰費用以概率相加，再把多余供應的懲罰費用以概率減去得到的結果.

1.3 需求市場中消費者的均衡模型的建立

令qjk表示零售商j對需求市場k的銷售量.cjk是需求市場k中消費者從零售商獲得產品時的交易費用，則cjk=cjk(Q2),?j,k.其中：Q2是no維列向量，表示零售商到需求市場的產品銷售量.假設：對?j,k交易費用cjk(Q2)連續，正；ρ3k：需求市場k的產品價格；ρ3是需求市場價格的o維列向量.隨機需求Dk=Dk(ρ3)意味著：需求市場k中消費者對產品的需求不僅依賴于該市場上的價格，還與其他市場的價格有關；設隨機變量Dk=Dk(ρ3)的概率分布未知，則我們先把Dk=Dk(ρ3)表示成：

其中dk(ρ3)是嚴格遞減函數.在很多經濟方面的文獻中，又把dk(ρ3)表示為：dk(ρ3)=ak-bkρ3(ak>0,bk>0)或dk(ρ3)=ck(ρ3)-dk(ck≥0,dk≥0)的形式.本文中，我們假設Dk(ρ3,ξ)=ak-bkρ3+?(ξ)，其中?:Ω→Ξ?R是定義在概率空間(Ω,F,P)上的函數，ξ是一個隨機向量，ak,bk為正參數.記ρ*2j：需求市場k與零售商j的交易價格.

需求市場k的均衡條件：對所有j=1,2,…,n

（5）式表明，如果需求市場k中消費者從零售商j購買產品，則零售商的索價加上交易費用不超過消費者愿意支付的價格.（6）式表示，如果消費者愿意支付的均衡價格大于零，則零售商購買的產品數量幾乎處處等于需求市場對產品的需求.

1.4 供應鏈網絡模型的均衡條件

記均衡狀態下生產商運送到零售商的產品量為Q1*，零售商的均衡需求價格為.在均衡中，生產商運送給零售商的產品量必等于零售商從生產商那里接受到的產品量.而且，在需求市場中消費者購買的產品量必等于零售商的銷售量.進一步，均衡條件下的產品量和價格需滿足不等式（2）（4）（7）的和.

因此，結合（2）（4）（7），帶有隨機需求的供應鏈網絡的均衡條件可以公式化成使得

2 模型描述的轉換公式

這樣隨機變分不等式（8）可寫成：求x*∈Rmn+no+o使得

事實上，這是以下的隨機互補問題：求x*∈Rmn+no+o使得

3 模型的一個算例

下面給出了一個算例：

例1 供應鏈網絡是由兩名生產商，兩名零售商及兩名消費者三層決策者組成的.生產費用函數為：

生產商的交易費用函數為：

零售商的交易費用函數分別為：

隨機需求Dj(ρ2j)在區間[0,1 0/ρ2j],j=1,2上服從均勻分布，則Dj(ρ2j)的概率分布函數

Dj(ρ2j)的概率密度函數

消費者的隨機需求Dk(ρ3)，k=1,2分別為：

其中，隨機變量ξ在[-1,1]上服從均勻分布.

利用.6]中提出的光滑化樣本均值逼近方法計算該例題，得到的結果如表1：

表1 例1的計算結果

〔1〕A,Nagurney.J,Dong.D,Zhang.A supply chain network equilibrium model[J].Transportation Research Part E.8 (2002)281-303.

〔2〕J.Dong,D.Zhang and A.Nagurney.A supply chain network equilibrium model with random Demands[J]. European Journal of Operational Research,156(2004), 194–212.

〔3〕M,Wang.M,M,Ali.G,H,Lin.Sample average approximation method for stochastic comple-menttarity problems with applications to supply chain supernetworks[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):317-345.

〔4〕M.J.Luo and G.H.Lin.Stochastic variationalinequality problems with additional con-straints and their applications in supply chain network equilibria.

〔5〕A.Nagurney.Network Economics:a VariationalInequality Approach[M].Kluwer Academic Publishers,Dordrecht,1999.

〔6〕瑛瑛，韓金樁.求解隨機非線性互補問題的光滑化樣本均值逼近方法[J].2013.

F 247；O 224

A

1673-260X（2013）02-0002-03