數學史融入中學數學教學：問題、歸因與對策

晁學民，張 號

（重慶師范大學 數學學院，重慶 401331）

引言

數學史的教育價值早已為人們所認識，法國數學家龐加萊曾說過：“如果我們要想預測數學的未來，那么適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。”第二屆國際數學教育大會成立的數學史與數學教育關系國際研究小組HPM，標志著數學史和數學教育的關系已經成為一個學術研究領域。[1]《義務教育數學課程標準》和《高中數學課程標準》也將數學知識的背景、數學史選講和數學文化列入其中，原因在于，在課堂上講點數學史有利于調動學生數學學習興趣，而“興趣是最好的老師”，有助于激發學習的動機；通過數學史的融入，學生可以了解數學知識產生背景和過程，認識數學與生活的聯系，有利于學生形成正確的數學觀。[2]此外，通過某些史料與教學內容的整合，學生還能從中感悟到一些基本的數學思想，積累數學活動經驗。雖然數學史的教育價值得到很高的評價，但數學史融入課堂教學的現狀卻不容樂觀。數學史融入課堂教學存在著諸多有待進一步研究的問題。

1 數學史融入課堂教學存在的問題

數學史的教育價值雖是多數數學家和數學教育家公認的，但數學史“高評價、低應用”的現象早已有之，數學史融入中學數學課堂教學還存在著許多問題有待我們改進、解決。

1.1 主次顛倒

數學史的滲透是為數學知識服務的，不能喧賓奪主，教學過程中不應過分渲染，應把握好數學史與課堂教學內容的主次。而有些老師由于沒能真正了解數學史融入數學教學的真實意義，往往把課堂的大多數時間放在了數學史知識的介紹上，顛倒了課堂的主次關系。下面通過一個教學設計案例來說明：

案例1：勾股定理的引入

師：勾股定理最早出現在中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，描述了一段周公與商高的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，……”商高回答：“……，當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。……”

師：對話中，商高說的“一條原理”實際上就是勾股定理的特例。之后，教師又對勾、股、弦作了解釋。

師：在西方國家，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理。相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。[2]據說，德國詩人海涅為描述當時發現真理的喜悅場面，寫了下面這首詩：

真理，她的標志是永恒

一旦愚昧的世界見到她的光芒

畢達哥拉斯定理今天依然正確

……

畢達哥拉斯讓它們永不安寧

它們瑟瑟顫抖著

絕望的閉上了眼睛

師：詩中講的是公元前6世紀畢達哥拉斯學派因發現直角三角形三邊之間的關系，而欣喜若狂，宰殺了一百頭牛來祭祀繆斯女神。從那以后，世界上的牛都怕數學家，一旦誰發現了新的定理，牛圈里的牛便立即開始哀鳴！因為又要宰牛了。

這位教師講了兩個關于勾股定理的史料，這不能不說是浪費時間。筆者親自測試了一下，僅把這兩段資料連續地讀完就用了3分鐘。何況在課堂上，在讀的過程中隨時會被思維活躍的學生打斷，加上對史料解釋所用的時間，花費的就不僅僅是3分鐘了。勾股定理這一節關鍵是要留給學生足夠的時間去探索，而把大量的時間用在說史料、解釋史料上，就使得用在探索上的時間相對減少。這位教師顛倒了教學的主次，忘記了數學史是為教學內容服務的，同時也忽略了課堂前15分鐘是學習新知識的最佳時機。

1.2 數學史的融入不夠深入

日本學者米山國藏曾說過：“學生在離開學校后，如果沒有機會應用，不到兩年時間就會把所學的知識幾乎全部忘掉，但使他們終身受益的是數學思維方法、研究方法、推理方法等。”這啟發我們，將數學史融入教學應盡可能地使學生掌握數學史背后的數學思想方法，這也體現了《義務教育數學課程標準(2011版)》中的基本數學思想。但多數教師是為了講數學史而介紹數學史，只是把數學史作為引出數學問題或相關數學知識的背景，對數學史的融入僅限于表面，對數學史背后隱藏的思想方法挖掘得不夠深入，難以發揮數學史的真正價值。

案例2：無理數的教學

教師先講述一個數學史上的慘案引入課題。“古希臘有一個著名的學派叫畢達哥拉斯學派，這個學派有個信條‘萬物皆數’，即宇宙間的一切現象都可以表示為整數或整數之比。其中的成員希伯索斯在計算邊長為1的正方形對角線時，發現對角線的長度是個未曾見過的‘怪數’( )，他的這一發現引起了人們的極度恐慌，該學派為了維護他們的信念，把希伯索斯投入大海以處死。希伯索斯發現的這個怪數到底是什么數呢？這節課我們就來揭開它神秘的面紗。”

接著，教師就按教材上(北師大版)的流程進行，給出面積分別為1，2，4的正方形，學生使用計算器計算正方形邊長a，在逐次縮小a的范圍后把無理數歸結為無限不循環小數。

這位老師以數學史上的慘案引入課題，為這節課的知識內容創設了一個較好的情景，能夠調動學生的積極性，但沒能對無理數產生的背景進行深入地挖掘。其實這位老師只差一步就可以為學生還原無理數產生的原因，可惜的是這位老師卻轉向教材。教師此時完全可以介紹“數”與“不可公度”，來展現歷史上人們對無理數的困惑，因為學生對某一概念在認識上的障礙也是我們祖先曾經遇到的，學生學習數學的認識過程與數學的發展過程相似。

案例3：球體積公式

有些老師是按照教材的方式進行教學的，先介紹祖暅生平，再直接給出祖暅原理，然后利用祖暅原理和長方體體積推出棱柱、圓柱及棱錐、圓錐的體積，最后取一個底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與半球放在同一水平面上，證明這兩個幾何體符合祖暅原理，斷定它們體積相等，從而求出半球的體積(具體見人教版普通高中課程標準試驗教科書數學2必修A)。

這樣雖然有利于培養學生的探究能力，但學生很難從中體會到劉徽求球體積時的創造性思考以及其中暗含的化歸思想，也難以體會祖暅原理所蘊含的豐富文化內涵。而袁志玲等[1]對此的設計方案，不僅可以讓學生體驗劉徽和祖暅的創造、探索精神，還能感受到他們懷疑與批判的數學理性精神和嚴謹治學的態度，更重要的是體會到一些重要的數學思想，從而達到了數學史融入教學的真正目的。

1.3 數學史實際融入較少、分布不均衡

現行初高中各個版本大都以閱讀材料的方式來呈現數學史，并且基本上都放在相關章節的最后，這就容易使教師和學生認為這些閱讀材料不重要，再加上受應試觀念的影響，這些史料往往會被忽略。另外，多數教師都只是在教材中出現數學史的地方簡單地介紹一下相關的數學史，而且大多是照本宣科式地介紹。在教材中沒有涉及到數學史的章節也很少去挖掘相關的史料，數學史的融入只是流于形式，真正把數學史融入到課堂屈指可數。[3]此外，數學史的融入不均衡，有些章節數學史的融入不僅形式多樣，且案例豐富，如勾股定理的教學；有的章節融入較少，甚至都沒有，如統計教學。

2 對以上問題的思考

上述問題的存在源于多方面的原因，同時這些問題的存在也是必然的、不可避免的，我們從下面三方面說起。

3.1 教師數學史素養低

數學教師是數學史融入課堂教學的主要實施者，我國一線教師數學史知識非常貧乏，對數學史知識知之甚少。[4]這其中的直接原因是他們缺少這方面的教育，雖然我國高師院校已經開設數學史課程，但一線部分年長教師在接受高等教育時并沒有學習數學史課程；而青年教師雖然在大學階段上過數學史課程，但數學史課程只是作為選修課而常常受到冷落。[5]加上教學任務繁重，能用在補充自身數學史知識和研究數學史與課堂整合的時間較少。這就使得數學史的融入僅停留在表層，難以發揮數學史的教育價值。[6]

2.2 直接用于教學的數學史資源較少

無論是國外還是國內，可用于教學使用的數學史資源都相對匱乏，數學史融入課堂教學的典型案例較少，這已成為數學史融入教學的共同瓶頸。[7]2005年在西北大學召開的我國第一屆數學史與數學教育會議閉幕時，曾倡導要出版與數學教材相配套的數學史與數學教學相結合的參考書及案例。當時提出進行HPM案例的征稿啟事并進行評比，可是在最后收到的稿件中(僅有6篇)，沒有一篇關于數學史與數學教育意義上的案例研究。

2.3 數學史的融入是一個長期的過程

教師數學史素養的發展是一個逐步提高的過程。由不知道數學史到數學史知識不斷增多，到對數學史的認識逐步加深；在教學中由想不到數學史，到嘗試運用數學史講故事，到對數學史有更為深刻的認識，再到對任何單元都能融入數學史并體現出數學史背后的價值。這是伴隨在課堂教學中的一個過程，需要一段時期，是急不得的。[7][8][9]所以，上述問題的出現是必然的、不可逾越的。

3 解決上述問題的幾點建議

就目前形勢而言，要保證數學史與數學課堂的有效整合，需要各方面的共同努力。

3.1 數學教師應加強自身數學史素養

在這方面，要求教師擠出時間大量閱讀各種數學史料，同時還要思考：數學史背后隱含著哪些數學思想方法？與哪些相關數學知識有著本質的聯系？如何在課堂教學中融入？怎樣發揮數學史的最大價值？此外，各級教育主管部門也要開設相應的教師寒暑假進修班，組織開展數學史與課堂教學融合的經驗交流會，以供一線教師、數學史研究者及數學教育研究者更好地交流、學習。

3.2 開發可供教師使用的資源

就當前來看，在短時間內改變教師數學史知識貧乏的現狀是不可能的，教師數學史融入教學的能力是教師數學史素養發展的過程，不是一蹴而就的。當務之急就要根據教學需求搜集歷史資料，并把這些資料改編為可供教學使用的資源，而這一工作不僅要求苛刻，還要花費大量的時間。單憑教師是不能完成這一任務的，況且大部分教師并不具備開發這些資源的能力與時間。這就要求數學史研究者、數學家、數學教育家和一線教師聯合起來，開發符合我國文化背景的相關數學史料。[8][9]作為教師可以對教學內容進行歷史的透視，即針對教學內容搜尋歷史；而數學史家在研究歷史的同時，也應考慮它的教學意義。此外，也可以翻譯一些國外較好的資料，結合我國實際情況在實踐中探尋方法。

3.3 實施相應的評價措施

由于受現行考試制度的影響，教師的教學往往受到考試的牽制。[10]有些教師雖然認識到了數學史的教育價值，但來自上級分配的升學率的壓力，使他們不得不放棄這些寶貴的知識[11]；還有一部分附庸于考試制度的教師認為，數學史內容考試不考，所以可學可不學，對數學史不夠重視。這種考試升學制度實際還是封建科舉取士制度在當今社會的延續，這是觀念問題，而觀念的轉變需要一段比較長的時間。因此，為了引起教師對數學史知識的重視，我們應當考慮是否應該把數學史知識納入到考試范圍之內？該以什么方式考查數學史？是考查數學史表面的知識還是考查其背后的思想方法？對數學史暗含的思想方法又該如何考？這些都是需要進一步探討的問題。

[1]袁志玲，陸書環.基于HPM的探究式數學教學設計——從祖暅原理與球體積談起[J].中學數學教學參考，2007，(11).

[2]王亞輝.數學史選講[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2011.

[3]劉超.人教版初中數學教材中數學史的調查分析[J].初中數學教與學，2011，(10).

[4]羅新兵，魏金英，劉陽，等.高中數學教材中數學史分布的特征和模式研究——以北師大版數學必修教材為例[J].數學教育學報，2012，(2).

[5]李國強，徐麗華.基于SOLO分類理論的數學教師數學史素養水平劃分[J].數學教育學報，2012，21(1).

[6]徐傳勝，李紅婷，韓振來.數學史與數學課程整合的實現路徑[J].山東師范大學學報：自然科學版，2008，(4).

[7]李媛媛.新課改下數學史的教育價值的認識與實踐[J].廣西民族大學學報：哲學社會科學版，2008，(6).

[8]袁銀宗.對數學史及其教學的思考與實驗[J].中學數學教學參考，2007，(4).

[9]魏悅姿.對數學史融入數學教育的思考[J].甘肅聯合大學學報：自然科學版，2008，(5).

[10]張維忠，汪曉勤，等.文化傳統與數學教育現代化[M].北京：北京大學出版社，2006：(4).

[11]劉超.新課程理念下數學史教育價值的實踐探索[J].教學與管理，2011，(3).