初中數學問題設置的常見誤區及對策研究

上海市老港中學 王元友 （郵編：201302）

筆者作為上海市浦東新區九年級數學中心組的成員，參與了區級的歷次數學聽評課活動.這些課既有名師、骨干教師的展示課，也有青年教師的職稱評審課，還有各個學校的教學評選課等，筆者在聽取完各類各層次的課后，感覺有喜有憂，喜的是二期課改的理念已經滲透至我們數學教師的課堂中，憂的是這些課堂依然存在著諸多不足，如課堂問題設置的不足等.本文擬從課堂問題的設置角度對筆者聽評課過程中發現的問題予以評析，期望能夠起到拋磚引玉的作用，引起更多數學教師的關注.

1 重視數學問題設置的意義

筆者在教研過程中發現：部分教師問題設置過于簡單以至于學生思維價值不大，部分教師問題坡度設置不合理以至于學生思維有障礙，部分教師問題設置合理但是沒有給予學生合理的思考時間等.所以我們需要關注數學課堂教學過程中的問題設置，從中汲取成功經驗，反思不足，以便于提升數學教學質量.

葉瀾教授曾提到“好的數學問題是驅動學生思維的有效載體，數學教師關注數學課堂教學過程中的問題設置是新基礎教育的成功的關鍵指標之一.”初中數學教師如果能夠設置恰當的問題將有助于開拓學生的思維，提高學生運用數學知識解決問題及語言表達能力；有助于把握課堂的生成性資源，不斷調控課堂教學，從而平衡教學內容的預設及生成關系.

筆者認為，數學教師備課時所設置合理的數學問題需基于最近發展區理論、具備一定的思維價值、學生通過小組合作或者教師的誘導可以發現問題解決的方式或者能夠獲得答案才是好的數學問題.

2 數學課堂問題設置的常見誤區

蘇霍姆林斯基曾說過“思維是從疑問開始的，只有敢于質疑與思考才能夠實現教學創新”.數學教學盡管是一門遺憾的藝術，但是在遺憾中我們如果能夠學會提出問題，就能夠成為數學教研過程中引導教師專業化發展的新的生長點.縱觀筆者的聽課過程（教學片斷根據聽課過程記錄如下），數學教學過程中問題設置的常見問題如下：

2.1 數學問題指向不明確

問題設置的主要目地是引導學生思考的方向，誘發學生解決問題的積極性，以便于落實學生的主體地位，形成活動課堂，提升課堂探究的實效性.筆者在聽課過程中發現有部分數學教師問題設置的指向不明確、含糊不清，以至于學生無法基于提出的問題作出合理的思考及時作出回答.

案例1 《相似三角形判定（2）》課堂教學實錄片斷 ……，師：如圖，在ΔABC和ΔA′B′C′中，∠A＝ ∠A′.根據邊角邊（SAS）判定條件來判斷ΔABC和ΔA′B′C′全等，還需要添加什么條件？

生：還需要添加條件：AB＝A′B′，AC＝A′C′，

在ΔABC和ΔA′B′C′中，因為∠A＝ ∠A′，AB＝A′B′，AC＝A′C′，

所以ΔABC≌ΔA′B′C′.

那么ΔABC和 ΔA′B′C′是否還全等？（在剛才的板書中改寫）

所以兩個三角形仍然是全等的.

師：回答的很好！那么這兩個三角形除了是全等關系外，還是什么關系？

（學生思考）……

生：相似吧，因為全等三角形是相似比為1的特殊的相似三角形.

（教師把剛才板書中的ΔABC≌ΔA′B′C′中的“≌”改成“∽”.）

改動后的板書：

在ΔABC和ΔA′B′C′中

師：的確如此！也就是說：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例（比值為1），并且夾角相等.那么這兩個三角形相似.

師：偉大的科學家牛頓曾說過：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現和創造.

那么對于三角形相似的條件，你們有什么大膽的猜想呢？

……

評析 相似三角形判定定理2的教學內容是學生已學過相似三角形判定的預備定理和判定定理1的基礎上進行學習的.如果脫離了上海教育出版社出版的初中數學教材的編排體系來看，本課時為了引入判定定理2的設置的問題很合理，從學生的實際學情出發，用已有的全等知識逐步的誘導學生從特殊到一般，猜想出判定定理2的內容，進而驗證論證符合數學定理教學的模式.我們推敲授課教師的最后問句：三角形相似的條件到底是什么？授課教師需要什么樣的答案呢？我們聽課教師就課論課都知道他的教學期望是什么，但是如果學生給出三邊對應成比例或者直角三角形中斜邊與直角邊成比例等課堂生成性資源，教師該如何處理？等，固然教師可以憑借教學機智解決問題，但是這里面就暴露了課堂問題設置的問題第一個常見誤區，問題設置的指向不夠明確.

問題不明確，隨心所欲，表面熱鬧，華而不實，一問一答，頻繁問答.其結果是問答中充滿了大量的是非問和填空問.不少問題根本不需要思考，有的甚至“照本宣科”就能應答自如，看起來課堂上熱熱鬧鬧，而學生思維的效率極低.所以筆者建議數學教師設置問題務必嚴謹，問題的指向性要明確，為學生指明思考的方向，才能夠把學生的學習興趣吸引到數學課堂中來.數學教師只有能夠設置合理的數學問題，才能夠誘導學生參與到課堂教學互動之中來，才能夠通過合理的互動在解答教師所設置的問題，通過過程性目標的實現來達到解決問題的教學目地.

2.2 數學問題設計沒有基于學生的最近發展區

問題設置的淺顯，對于學生的思維沒有價值，問題設置過難，可能會獲得冷場的場景.數學教師基于學生的最近發展區所設置的問題，學生最好跳一跳經過自己的思考能夠解決問題.即使問題有一定的難度，如果教師能夠設置合理的坡度，那么學生通過小組合作也能夠解決.

案例2 兩位教師《銳角三角比（2）正弦、余弦》課堂教學實錄片斷

青年教師教學片斷

青年教師采用導學單式教學模式，先學生自學，然后開門見山的采取講授式教學，直接提問，我們今天將學習什么內容？學生由于預習過了，所以直接說出今天學習銳角的正弦、余弦.然后教師提問：銳角的正弦、余弦的定義是什么？你能夠借助圖形給予說明嗎？……

骨干教師教學片斷

師：直角三角形中，30°角的對邊與斜邊的比值是多少？

生：1∶2

師：在 RtΔABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠A對邊與斜邊的比值是一個定值嗎？如果是，是多少？

師：直角三角形中，45°角的對邊與斜邊的比值為

評析：授課教師通過強調含有直角三角形中30度角和45度角所對的直角邊和斜邊的比值，采取從特殊到一般的研究方式來歸納總結直角三角形中銳角固定，比值也固定.

學生自學探究

師：當∠A取其他一定度數的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？

探究：任意畫 RtΔABC和 RtΔA′B′C′，使得∠C＝ ∠C′＝90°，∠A＝ ∠A′，兩三角形有什么關系.你能解釋一下嗎？

生：可以看出這兩個三角形相似，所以有與相等.

師：這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比是一個固定值.

評析 授課教師通過在直角三角形中有一個非直角相等，那么這兩個三角形相似，得出相應的邊的比相等，說明在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比是一個固定值，呼應了一般意義下銳角三角形的比值不變性的本質.

師：下面我們來認識一下銳角的正弦概念：在RtΔBC中，∠C＝90°，∠A的對邊記作a，∠B的對邊記作b，∠C的對邊記作c.在RtΔABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝.

評析 通過青年教師和骨干教師的兩節課的正弦概念的引入可以發現，無論采用何種教學模式，給予學生最近發展區的問題設置才是最關鍵的.青年教師可能囿于自己的教學經驗、對于數學教材、數學課程標準的把握等，他的問題設置表面看采取了流行的學案導學模式，充分借助導學案的導學導思的特點來教學，但是一個銳角的正弦的定義采用講授式教學模式不利于學生對于數學本質的理解.我們再觀察骨干教師的展示課，可以發現其基于一個銳角的正弦的本質定義出發，從特殊到一般，進而從相似的角度進行論證，直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比是一個定值，即銳角的正弦值只與該銳角的大小有關系，與銳角的對邊與斜邊無關，這樣就清晰的引入了銳角的正弦的概念及其本質.學生對于特殊銳角的性質和相似三角形的性質相當熟悉.

忽視學生的年齡特征，問題情境設計脫離學生，學生難以理解和接受，學生思維難以展開，不知朝什么方向思考，都會影響教學效果.所以筆者建議，初中數學教師設置數學問題一定要在充分研究數學教材和數學課程標準的基礎上再基于學生的最近發展區設置問題，才能夠借助師生互動的過程幫助學生建構新舊知識的聯系，達到掌握新知的目的.

2.3 數學問題設計深度與廣度有待商榷

心理學家將問題從提出到解答的過程稱為“解答距”，就是讓學生經過一段時間的思考才解決問題，讓思維的“軌跡”有一段“距離”.這里我們不得不思考這段思維的軌跡，在數學問題的設置上，我們如果要給予學生足夠的解答距，讓學生思維的軌跡得到展示，就需要教師在數學問題設置的深度與廣度上做文章，即誘導學生對于數學問題的解決經歷模仿、變式、反思、自覺分析這樣一個過程，才能夠促進學生思維能力的養成與提升.

案例3 《解直角三角形的應用（2）》課堂教學實錄片斷

例：熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高？

該授課教師先讓學生自己根據題意構造圖形，再引導學生將已知條件標注到圖上后再分析，由已知條件可知α＝30°，β＝60°，AD＝120，在RtΔABD中，α＝30°，AD＝120，所以可利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進而求出BC的長.即采用先分析后板演的教學模式，從某種意思上，這樣的教學模式應該是嚴謹的，滲透了先學后教、融入了師生互動等二期課改理念.那么我們能否在這樣一個看似無縫的教學片斷中，站在教學研究的角度提出問題呢？我們認為本題給予學生的思維空間還可以開拓，即數學問題設計的深度與廣度還可以進一步挖掘，給予學生充分的解答距.

如何給予學生充分的解答距呢？如我們可以從本題出發進行變式：

變式1 熱氣球繼續升高一定距離后探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的俯角為45°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高？

變式2 熱氣球繼續升高一定距離后探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的俯角為α，看這棟高樓底部的俯角為β，熱氣球與高樓的水平距離為a米，這棟高樓有多高？

學生經歷這樣一組題組式訓練后，其思維的深度與廣度得到拓展，解答距促使學生對于仰俯角的概念及解直角三角形的應用問題形成解題經驗的積累，學生經歷模仿、變式、反思和自覺分析的過程，可以更加有效的幫助他們融會貫通數學知識與技能.

基于上述課堂教學模式，所以筆者建議數學教師設置問題是要從學生的實際出發，合理設置問題，幫助學生增加思考的階梯，即做到無梯時架梯、有梯是增加梯子的密度.問題由淺入深、坡度逐步減小，才能夠啟發學生，順利幫助學生解決問題.

3 數學課堂問題設置的對策研究

常見的數學問題可以分為四類：一是認知記憶類問題，即簡單的再現或回憶已學知識的問題；二是認知集中類問題，即只有一種解答方式或者需要經過回憶思考的問題；三是分歧類問題，即能夠引起學生思考并且形成多種解答方式和答案的啟發性思考題；四是評價類問題，即學生需要運用所學知識、能夠對所給問題作出分析判斷并說明理由的問題.數學問題設置的方法很多，角度也很多，不可能有統一的模式，教無定法，但是教要得法，問題設置有法.即數學課堂問題設置要遵循教育教學的規律，遵循數學教材及上海市中小學數學課程標準的要求，可以從以下方面做出問題設置的改進.

3.1 以學定教 注重數學問題設置的分層

根據初中數學教材、課程標準和學生的實際學情對于教材進行建構，尤其是精心的對每一課時的教學內容進行構建是進行高效教學的關鍵.這就尤其需要數學教師能夠針對教學內容注重數學問題設置的分層，關注各層次學生的發展.為了避免滿堂問學生，提問次數過多，教師應當根據學生的思維特點和年齡特征，以學定教，合理安排問題.譬如針對六七年級的學生，我們教師應盡量采用淺顯通俗易懂的方式激發學生的學習興趣，針對八九年級的學生，則注重把握問題的深度與廣度來保證各類不同層次學生的收獲，以激發全體學生的學習積極性，從而達到培養學生能力、提升教學質量的目的.

3.2 先學后教 留給學生足夠的思維時間

在注重數學問題設置分層的同時，我們數學教師還要在把問題拋給學生后留給學生足夠的思維時間，否則就會出現過猶不及的情況.時間過短，學生可能還沒有思考清楚，問和不問對于中等及偏下學生估計沒有區別.所以我們要讓學生在接受到數學教師給他們提供的數學問題后能夠先學后教，在適當的等待后讓學生進行解答，然后針對學生的解答給予點評，要注重課堂教學過程中的再生資源的把握和使用.即如果出現預設外的課堂再生資源，數學教師可以采用追問的方式繼續設置問題誘導學生動腦（形成思維的跳一跳）.當學生的回答正確但不充分時，教師要給學生補充另外的信息，以便學生得出更完整的答案.先學后教式的設置問題能夠給學生提供機會，讓學生在探究過程中獲得新認識，提高解決問題的能力，促進思維的發展，同時使學生在情感上感受成功的體驗.

3.3 在學中教 師生共同成長

任何備課都可以稱之為一種教學預設，縱然教師的素質再好，也不可能完全預設出所有的課堂可能.所以我們數學教師要引導學生的能力養成尤其要關注在學生學習中的教，更加彰顯教師捕捉與把握問題進而設置問題誘導學生解決問題的必要性.數學教師設置的問題最好能夠是學生沒有認真閱讀教材和深入思考之前不能夠回答的，或者是班級中大多數學生經過個人努力或者小組合作后能夠解決的.這樣的問題設置才能夠說具備一定的深度，這樣的問題情境的創設才可以進一步激發學生在學習中成長，教師也在輔導學生學習的過程中與學生一起成長.與此同時，問題設置要面向大多數學生的認識水平，要能夠發展學生的思維，這也是評價數學教師問題設置的重要指標之一.

著名心理學家皮亞杰曾經說過：“只有當感性輸入與學生現有認知結構具有中等程度的不符合時，興趣最大.”所以數學教師通過設置好的數學問題將能夠最大程度的激發學生的學習興趣，落實他們的主體性學習地位，才能夠最大意義上將學生的思維激活.只有設置有意義、指向明確、有坡度（深度和廣度）的數學問題才能夠真正意義上提高教學效益.