不同坐標(biāo)系下描述的圓周運(yùn)動(dòng)

吳振朋

摘 要：主要研究了直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用.另外還給出了在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)如何恰當(dāng)選擇這三種坐標(biāo)系的方法.

關(guān)鍵詞：直角坐標(biāo)系；自然坐標(biāo)系；極坐標(biāo)系；圓周運(yùn)動(dòng)

曲線運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)而言的一種物理運(yùn)動(dòng)形式，指物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線.當(dāng)物體所受的合力和它運(yùn)動(dòng)的方向不在同一直線上，物體的運(yùn)動(dòng)就是曲線運(yùn)動(dòng).在曲線運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)力矢量與速度矢量間的夾角等于90°時(shí)，作用力僅改變物體速度的方向，不改變速度的量值；當(dāng)夾角小于90°時(shí)，作用力不僅改變物體運(yùn)動(dòng)速度的方向，并且增大速度的量值；當(dāng)夾角大于90°時(shí)，同樣改變物體運(yùn)動(dòng)速度的方向，但是卻減小速度的量值.曲線運(yùn)動(dòng)中速度的方向時(shí)刻在變，因?yàn)樗莻€(gè)矢量，既有大小，又有方向。不論速度的大小是否改變，只要速度的方向發(fā)生改變，就表示速度矢量發(fā)生變化，也就具有了加速度，所以曲線運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng).

勻速圓周運(yùn)動(dòng)是常見的曲線運(yùn)動(dòng).為了描述物體的運(yùn)動(dòng)而引

入了參考系.參考系指研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所選定的參照物體或彼此不做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體系.根據(jù)牛頓力學(xué)定律在參考系中是否成立

這一點(diǎn)，可把參考系分為慣性系和非慣性系，兩類參考系的選擇是任意的，但應(yīng)以觀察方便和使運(yùn)動(dòng)的描述盡可能簡單為原則.研究地面上物體的運(yùn)動(dòng)常選擇地面為參考系.

從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度來講，參考系的選擇原則上是任意的，但是參考系選擇不同，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題研究的難易程度有很大影響，因此，選擇參考系通常遵循簡單、方便的原則.在選擇了恰當(dāng)?shù)膮⒖枷狄院螅康孛枋鑫矬w的運(yùn)動(dòng)，還必須建立合適的坐標(biāo)系.目前經(jīng)常用到的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，這三種坐標(biāo)系在描述物體的運(yùn)動(dòng)方面有異曲同工之妙，但針對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)形式，三種坐標(biāo)系處理問題的繁簡程度卻迥異.下面我們從圓周運(yùn)動(dòng)的角度分別來分析這三種坐標(biāo)系的應(yīng)用特點(diǎn).

一、直角坐標(biāo)系下的圓周運(yùn)動(dòng)的分析

參照圖1，圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在直角坐標(biāo)系中可描述為

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度的定義，可以得出質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)各個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度和合速度

速度與x軸的夾角為

直角坐標(biāo)系下圓周運(yùn)動(dòng)的加速度可表示為：

其中β=■為角加速度.如果物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則β=0，進(jìn)而可知其合加速大小為■=R？棕2，與x軸負(fù)半軸方向夾角為θ，

即指向圓心.

由以上分析可見，直角坐標(biāo)系在分析一般圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，涉及加速度的研究計(jì)算結(jié)果比較繁瑣.因此關(guān)于涉及圓周運(yùn)動(dòng)加速度分析時(shí)，采取自然坐標(biāo)系.

二、自然坐標(biāo)系下的圓周運(yùn)動(dòng)的分析

參照圖2，圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在自然坐標(biāo)系中可描述為：

s（t）=Rθ（t）（6）

其中θ（t）是物體從參考位置B點(diǎn)到任意位置A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.在自然坐標(biāo)系中對(duì)矢量分解為沿曲線切線方向且指向s增加方向，記作■，曲線法線方向指向曲線的凹側(cè)，記作■.又因曲線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度方向始終沿著切線方向，故在自然坐標(biāo)系下法線方向速度始終為零.

圓周運(yùn)動(dòng)的線速度在自然坐標(biāo)系下表示為■=■■=r？棕■（7）

因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的合速度在切線方向，因此切線方向的速度即其合速度.

圓周運(yùn)動(dòng)加速度可表示為■=a？子■+an■=■■+r？棕2■（8）

當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，■=0，質(zhì)點(diǎn)的加速度為■=r？棕2■.

三、極坐標(biāo)系下的圓周運(yùn)動(dòng)的分析

參照圖3，我們可以建立極坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程：

因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在徑向的位置矢量為定值，因此■r=0■r，其中■r表示徑向方向.在垂直于徑向的橫向方向速度為■θ=r？棕■θ，其中■θ表示橫向方向.質(zhì)點(diǎn)的加速度可以由加速度的定義式■=■求得，因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系下■θ的方向隨時(shí)間發(fā)生變化，因此

通過分析直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系在圓周運(yùn)動(dòng)求解速度和加速度中的應(yīng)用，可以發(fā)現(xiàn)自然坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系在求物體圓周運(yùn)動(dòng)的速度和加速度時(shí)比較簡潔.因此在有關(guān)曲線運(yùn)動(dòng)的分析時(shí)一般首先考慮自然坐標(biāo)系.如果質(zhì)點(diǎn)做螺旋運(yùn)動(dòng)，可在極坐標(biāo)系下分析其運(yùn)動(dòng)情況.涉及質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，則直角坐標(biāo)系可以顯示出其優(yōu)越性。

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（作者單位 山東省德州市第二中學(xué)）