例題教學后的反思

謝建平

“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的.善于做解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的.我們可以將此例題進行一題多變、一題多解.

一、一題多變

例1.原題：函數y=lg（x+■）的圖象關于原點對稱.

解：該函數定義域為R，且f（-x）+f（x）=lg（-x+■）+

lg（x+■）=lg（-x+■）（x+■）=lg1=0

∴f（-x）=-f（x），∴該函數圖象關于原點對稱.

變題1：已知函數y=f（x）滿足f（-x+1）=-f（x+1），則y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱.

解：∵f（-x+1）=-f（x+1），∴y=f（x+1）為奇函數，即y=f（x+1）的圖象關于原點（0，0）對稱，故y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱.

變題2：已知函數y=f（x）滿足f（x）+f（-x）=2，則函數y=f（x）的圖象關于（0，1）對稱.

解：由f（x）+f（-x）=2得，∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，y=f（x）-1為奇函數，即y=f（x）-1的圖象關于（0，0）對稱，∴y=f（x）的圖象關于（0，1）對稱.

變題3：已知函數y=f（x）滿足f（x）+f（2+x）=2，則y=f（x）的圖象關于（1，1）對稱.

解：令x=t-1，則-x=1-t，故由f（x）+f（2+x）=2得f（1+t）+f（1-t）=2，即f（x）滿足f（1+x）+f（1-x）=2，即f（-x+1）-1=[f（x+1）-1]，∴y=

f（x+1）-1的圖象關于原點（0，0）對稱，故y=f（x）的圖象關于（1，1）對稱.

結論：若函數y=f（x）滿足f（a+x）+f（c-x）=b，則y=f（x）的圖象關于■，■對稱.

變題4：已知f（x）=■

求證：（1）f（x）+f（1-x）=1

（2）指出該函數圖象的對稱中心并說明理由.

（3）求f（■）+f（■）+…+f（■）的值.

證明：（1）f（x）+f（1-x）=■+■=■+■=1，得證.

（2）解：該函數圖象的對稱中心為（■，■），由f（x）+f（1-x）=1得f（■+x）+f（■-x）=1，即f（-x+■）-■=-[f（x+■）-■]，∴y=

f（x+■）-■的圖象關于原點中心對稱，故y=f（x）的圖象關于（■，■）對稱.

（3）解：∵f（x）+f（1-x）=1，故f（■）+f（■）=1，f（■）+

f（■）=1，…，∴f（■）+f（■）+…+f（■）=500.

變題5：求證：二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象沒有對稱中心.

證明：假設（m，n）是f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱中心，則對任意x∈R，都有f（m+x）+f（m-x）=2n，即，

a（m+x）2+b（m+x）+c+a（m-x）2+b（m-x）+c=2n恒成立，

即有ax2+am2+bm+c=n恒成立，也就是a=0且am2+bm+c-n=0與a≠0矛盾，

∴f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象沒有對稱中心.

二、一題多解

已知函數f（x）=■，x∈[1，+∞），

（1）當a=■時，求函數f（x）的最小值；

（2）若對于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，試求實數a的取值范圍，

解：（1）當a=■時，f（x）=x+2+■≥2+2■，當且僅當x=

■時取等號.

由f（x）=x+■（k>0）性質可知，f（x）在[■，+∞）上是增函數.

∵x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）是增函數，f（x）在區間[1，

+∞）上的最小值為f（1）=■.

（2）方法一：在區間上[1，+∞），f（x）=■>0恒成立？圳

恒x2+2x+a>0成立，

設y=x2+2x+a，∵x∈[1，+∞）y=x2+2x+a=（x+1）2+a-1在[1，+∞）上是增函數，

∴x=1時，ymin=a+3，于是當且僅當ymin=a+3>0時，函數f（x）>0恒成立，故a>-3

方法二：f（x）=x+■+2，x∈[1，+∞）

當a≥0時，函數f（x）的值恒為正；

當a<0時，函數f（x）為增函數，故當x=1時，ymin=a+3，于是當且僅當ymin=a+3>0時，函數f（x）>0恒成，故a>-3，

方法三：在區間[1，+∞）上，f（x）=■>0恒成立？圳x2+2x+a>0恒成立？圳a>-x2-2x恒成立，故a應大于u=-x2-2x，x∈[1，+∞）時的最大值為-3，

∴a>-3，0≤a<2.

通過例題的層層變式一題多解，學生對恒成立的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破思維定式，有利于培養思維的變通性和靈活性。

三、在學生易錯處反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果

有這樣一個教學案例：一位高一的老師在講完函數后，出了這樣一道題：已知函數y=log■（3x2-ax+5）在[1，+∞）上是減函數，則實數a的取值范圍是？

A學生的答案是（-2■，-6]，老師一看：錯了！于是馬上請B同學回答，這位同學的答案是“（-8，-6]”，老師便請他講一講方法：……下課后聽課的老師對給出錯誤答案的學生進行訪談，那位學生說：……故答案為（-2■，-6].他的答案的確錯了，怎么錯的？為什么會有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的例題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視.

四、在情感體驗處反思

教學中，如何從一道例題出發進行變式教學，無論從方法上還是從內容上都起著“固體拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同時可培養學生提出問題和解決問題的能力并使學生探究能力和創新能力得到發展。像以上的例子很多，只要善于挖掘，對很多課本的例題、習題及概念都可做到舉一反三，融會貫通，既能鞏固基礎知識，又能拓展知識空間，訓練思維，提高能力，同時使得學生不再認為課本是枯燥無味的，也培養了學生多種思維品質，可以收到事半功倍的教學效果.

（作者單位 江蘇省金壇市第一中學）