MASNUM－WAM中譜增長限制的改進及檢驗＊

杜建廷，華 鋒，王道龍，江興杰，江志輝

（1.海洋環境科學與數值模擬國家海洋局重點實驗室，山東 青島266061；2.國家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061）

MASNUM－WAM（Key Lab of Marine Science and Numerical Modeling－WAM），其前身為 LAGFDWAM［1－2］（Laboratory of Geophysical Fluid Dynamics－WAM），是當今世界上最先進的第三代海浪數值模式之一，自1991年研發至今一直應用于中國近海海浪的數值模擬以及海洋工程中，其在高風速條件下模擬海浪的能力受到國內外研究人員的廣泛認可。

MASNUM－WAM的破碎耗散源函數采用Yuan等改進的參數化方案［3］，非線性波－波相互作用源函數參照Hasselmann等的參數化方案［4－5］，在數值模式中首次考慮了波流相互作用源函數［1］，數值計算格式上采用復雜特征線嵌入計算格式［6］。楊永增等在LAGFD－WAM區域海浪數值模式基礎上建立了球坐標系下的全球海浪數值模式［7］。華鋒等為LAGFD－WAM區域海浪數值模式設計了一種新的特征線數值計算格式［8］，使其能夠更好地進行淺水海浪數值模擬。

但是，大量的數值試驗和工程計算結果表明，MASNUM－WAM在模擬低風速條件下的海浪時，其有效波高較實際偏低。在人類涉足的海域，除臺風、寒潮等惡劣天氣之外，海面大多處于低風速條件下，因此在海上平臺設計、海岸建筑設計、海浪能估計等工程應用中，往往需要統計一般條件下的海浪。這也在一定程度上限制了MASNUM－WAM的應用。本文基于量綱分析方法改進了模式中的譜增長限制，使其更好地應用于低風速條件下海浪的數值模擬。

1 譜增長限制的作用和基本形式

第三代海浪數值模式普遍采用譜能平衡方程［1］求解海浪譜，即。其中，為局地變化項與平流變化項之和；為波動群速度；為背景流速；Stot為各源函數之和，深水波在不考慮波-流相互作用的前提下，由風輸入項、波-波非線性相互作用項以及破碎耗散項三部分組成：Stot＝Sin＋Snl＋Sdis。在MASNUM－WAM中，能量的平流變化項采用特征線嵌入格式計算，而局地變化項與源函數項采用半隱半顯格式處理。采用半隱半顯格式數值積分平衡方程時，源函數對能譜的Jacobian導數矩陣只保留對角線項不能保證數值穩定性，海浪模式中通常采用譜的增長限制來抑制不穩定過程。

最初，在 WAM 模式中譜的增長限制采用與時間步長無關的形式：｜ΔF｜max＝6.4×10－7g2f－5［9］。Tolman根據數值模擬結果指出，這種形式對時間步長具有很強的依賴性［10］。為解除這種依賴性，在 WAM Cylce4中采用了比例與時間步長的限制條件：｜ΔF｜max＝6.4×10－7g2f－5Δt/τ（τ＝1 200s）［11］。該模式應用于歐洲中期天氣預報中心（European Centre For Medium Range Weather Forecasts）的業務化海浪預報系統當中。對于網格步長Δx＞50km的情況，該模式取得了較好的預報結果。但是在高分辨率下，模式結果與有限風區海浪的成長規律不相符。為此，Hersbach和Janssen［12－13］基于特征尺度的不變性對增長限制進行了改進。改進后的增長限制更少地限制了海浪譜的成長，尤其是在高頻譜段的成長，使得WAM在高分辨率下模擬海浪的能力有了很大的提高。改進后的增長限制為，其中，為無量綱PM譜峰頻率，fc為截斷頻率。Yuan等［1］在LAGFD－WAM海浪數值模式中采用Phillips增長限制［14］，。其中，為波數譜；θ為風向與波向的夾角；k為波數；c為波速；u＊為摩擦速度；p，q為常數，通常p＝0.025，q＝2。

為消除其對時間步長的依賴性，在MASNUM－WAM中采用了比例與時間步長的限制條件：

其中E＝E（k），為方向平均的波數譜；α為常數，α＝9.1×10－6p（p＝0.025）；u＊為摩擦速度；k為波數；Δt為時間步長。

2 原譜增長限制對源函數的影響

當設定模式的時間步長和波數的劃分方案，譜的增長限制只是摩擦速度的函數。而在MASNUMWAM中，摩擦速度僅僅是海面10m風速的函數u＊＝f（u10）。對于模式中的任意一個計算點，波譜在該點的增長限制只與風速有關，即ΔEmax＝g（u10），而同樣的風速在不同的波譜下所產生的譜能變化（ΔEs）是不同的。因此，為研究譜增長限制與風速以及與波譜之間的關系，采用Tsagareli的復合譜［15］，方向分布采用Babanin and Soloviev方案［16］，給出風速分別為5m/s和30m/s，無因次風區分別為χ＝1×105，χ＝1×101和χ＝1×103的譜增長限制與源函數導致的譜能增量之間的關系。

圖1 不同風速和風區下譜增長限制對沿風速方向的譜能增量的影響Fig.1 Effects of the growth spectrum limit on the spectrum energy increment in the wind direction under the conditions of different wind speeds and fetches

當無因次風區較小時，增長限制的絕對值小于源函數導致的譜能增量的絕對值，從而削減了譜能的增長（圖1a和圖1c），在低風速下的削減明顯大于高風速的；而當無因次分區較大時，增長限制對譜能的增長影響較小（圖1b和圖1d）。在同一風速下，不同的波數譜對應的譜能增量不同，這就要求譜增長限制也要做出相應的調整。這些都表明以往采用的譜增長限制隨風速或者隨譜形的變化不合理是導致低海況下模擬有效波高較實際偏低的一個重要因素。由此推測，要改進譜增長限制可以在原譜增長限制的基礎上降低u＊的指數或者加入一個表征譜形的物理量。

3 譜增長限制的改進

3.1 量綱分析

MASNUM－WAM中的各個方程都是建立在以摩擦速度為基本量的量綱分析基礎之上的。量綱分析需要用到以下3個無量綱量：（無量綱波數譜的譜能量），（無量綱波數）（無量綱時間）。模式中所用到的方程，必須滿足量綱齊次原則。

3.2 譜增長限制的改進

將MASNUM－WAM中采用的增長限制式（1）寫成無量綱量與特征量乘積的形式：

消去特征量得到無量綱形式的方程：

由此可知原譜增長限制中的參數α是一個隱含量綱的常數，其量綱為，該量綱與波數的量綱一致。

Yuan等最初在LAGFD－WAM海浪數值模式中采用的是Phillips譜增長限制，其方向平均的形式［1］：

其中β為待定系數。將其寫成無量綱量與特征量的乘積形式：

消去特征量得到無量綱形式的方程：

當右式加入Δt項時，為滿足量綱齊次原則，需在無量綱形式方程中加入無量綱時間，即

還原量綱：

或

參考式（1）中k－4關系，將式（9）中的k－3改為k－4，同時根據我們數值試驗結果，加入表征譜峰位置的量以保持量綱守恒，原式變為

其中，為海浪譜的平均波數。相應的無量綱形式的方程為該式滿足量綱齊次原則。

選取不用的時間步長和網格劃分，經過大量數值試驗得出，β取值為1.0×10－6時，可以得到穩定的結果。

4 模式結果檢驗

將改進后的譜增長限制應用于MASNUM－WAM，采用風浪的有限風區成長關系作為參考標準對改進后的模式結果進行檢驗。檢驗內容包括無因次譜能隨無因次風區的成長關系以及無因次譜峰波數隨無因次風區的成長關系。其中，無因次譜能為，無因次譜峰波數為，無因次風區為。作為參考標準的成長關系包括Jonswap成長關系，其無因次譜能、無因次譜峰波數隨無因次風區的成長關系為ε＝1.6×10－7χ，Kp＝3.5χ－0.33［17］；Donelan等成長關系，其無因次譜能、無因次譜峰波數隨無因次風區的成長關系為ε＝8.415×10－7χ0.76，Kp＝1.85χ－0.23［18］；Young成長關系，其無因次譜能、無因次譜峰波數隨無因次風區的成長關系為ε＝7.5×10－7χ0.8，Kp＝2.0χ－0.25［19］。我們共進行4組對比試驗，其中 EXP1，EXP2采用的波數劃分范圍為0.007 1～0.688 8m－1，EXP3，EXP4采用的波數劃分范圍為0.001 0～4.390 9m－1，EXP1，EXP3采用原譜增長限制，EXP2，EXP4采用改進后的譜增長限制。

圖2 改進譜增長限制前后模式結果的有限風區成長關系對比（波數劃分范圍：0.007 1～0.688 8m－1）Fig.2 Comparison of fetch－limited growth relationships of the model results before and after the improvement of growth spectrum limit（wavenumber range：0.007 1～0.688 8m－1）

圖2為EXP1與EXP2的模式結果檢驗。波數劃分范圍采用MASNUM－WAM中通常采取的波數劃分方案，即0.007 1～0.688 8m－1。對比可知，當風速為15～45m/s時，改進譜增長限制后的模式結果與參考值符合程度較高，數據也相對集中，而改進之前的模式結果與參考值符合程度較低，數據也相對離散。當風速為5m/s時，改進后的模式結果，其無因次譜能在小風區大于改進前，而在大風區則差別不大，二者均小于參考值。這是因為在低風速下，當風區較小時，譜能增量集中于波數較大的區域（圖1a），采用0.688 8m－1為最大波數劃分范圍嚴重限制了海浪譜的成長，使得模式結果偏小。在高風速下，當風區較大時，譜能增量集中于波數較小的區域（圖1d），采用0.007 1m－1為最小波數劃分范圍也會在一定程度上限制海浪譜的成長。基于上述2個原因，為了提高模式的準確度，EXP3與EXP4在保證數值穩定性的基礎上擴大波數劃分范圍為0.001 0～4.390 9m－1。

圖3為EXP3與EXP4的模式結果檢驗。對比可知，與參考值相比，在不同風速下改進后的模式結果比改進前均有不同程度的提高。在低風速下主要表現在小風區，在高風速下主要表現在大風區。同時，由于波數劃分范圍大于EXP1與EXP2，因此在極端條件下EXP3與EXP4的模式結果與參考值更接近。

圖3 改進譜增長限制前后模式結果的有限風區成長關系對比（波數劃分范圍：0.001 0～4.390 9m－1）Fig.3 Comparison of fetch－limited growth relationships of the model results before and after the improvement of growth spectrum limit（wavenumber range：0.001 0～4.390 9m－1）

5 結語

第三代海浪數值模式中普遍引入譜增長限制。譜增長限制作用于譜能增量，防止其在一個時間步長內超過合理的范圍，保證了模式計算的穩定性。過分寬松的譜增長限制會導致模式計算溢出，而過緊的譜增長限制則會限制譜峰波數較大、譜寬度較寬的風浪譜的成長，導致海浪在低風速下和成長初期成長緩慢。

在實際應用中，大量的數值試驗和工程計算結果表明，MASNUM－WAM在低風速下模擬海浪有效波高偏低的重要原因之一來自譜增長限制。基于量綱齊次原則，在原譜增長限制的基礎上加入了平均波數，更符合風浪譜的成長規律，在保證模式計算穩定性的前提下更少地限制了風浪譜的成長。

采用風浪的有限風區成長關系作為參考標準對改進后的模式進行檢驗。檢驗結果表明，改進后的模式結果在低風速和小風區情況下更接近理論值，在高風速和大風區等極端條件下也與理論值更為接近。同時，當風速的變化范圍較大時，應在保證計算穩定的前提下適當擴大波數劃分范圍。目前上述結論尚處于試驗階段，距離實際應用尚有一定差距，需要進一步采用實測資料進行模式的檢驗和參數的調整。

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