一元二次函數在閉區間上的最值問題

摘 要：針對部分中學生對二次函數最值問題的困惑，從方法上給予了歸納，結合具體的例題講解，希望能解除學生對這類問題的困惑，提高學生學好數學的信心。

關鍵詞：二次函數；閉區間；最值

一元二次函數在閉區間上的最值是函數中最常見、最基本、最重要的一類問題。它不完全由頂點的縱坐標決定，需要根據拋物線的對稱軸與區間的位置關系以及開口方向采用分類討論的方式解決。首先是弄清對稱軸與區間的相互位置，進而利用圖象，結合單調性求解。圖像的指導性在這里顯得尤為突出，是數形結合解決問題的一個典范。

一、方法歸納

二、類型歸納

基于以上分析，分為四種類型，分別為定軸定區間、定軸動區間、動軸定區間和動軸動區間四種基本類型。由于定軸定區間比較簡單，動軸動區間情況太復雜，這里就不做詳細說明了，重點探討另外兩種情況。

1.定值定區間

2.動軸定動區間

如果我們把對稱軸比喻成一個人，區間比喻成一列火車，這種情況就像一個人從一列火車旁邊經過，從接近火車到見到火車到走到火車中間再慢慢地離開火車。類似的，這種類型二次函數圖象也有如下幾種情況：

點評：在畫圖時，不畫出坐標系，是直接從曲線本身出發，把我們要考慮問題的干擾因素減少，使我們的解題更加簡潔高效。不畫出坐標系，不是說明坐標系不存在，而是站的高度更高了，從宏觀上直接把握整體與局部的關系，抓住了問題的實質，另外，二次函數最值問題是其他函數最值問題的一個縮影，解題方法具有遷移性，希望學生能細心體會，融會貫通。

（作者單位 安徽省蕪湖縣第二中學）

編輯 魯翠紅