立足“大單元”教學，領會面積轉化

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出“大單元”教學思想，要求對單元知識點進行重新整合設計，關注知識點間的關聯性.本文中從“圓”這一章探究如何進行分析整合，一線串聯多個知識點，體現知識點間的橫縱向聯系，讓學生明確研究問題的一般思想和方法，不僅教會學生學會知識，認識知識本質，實現知識點間的遷移與拓展，而且能夠培養學生的思維品質，體現數學核心素養.

關鍵詞：大單元教學；知識點間的聯系；重構知識點；數形結合

新課標提倡大單元教學，要求“中學數學應關注不同知識點之間的橫縱向聯系，強調數學的整體性、數學思想方法的內在一致性”[1].

怎樣理解大單元教學呢？“基于大概念的單元教學設計，是教師依據課程標準的要求，以大概念為核心，基于學生已有的認知基礎，選擇并整合單元知識，引導學生把握知識背后所蘊含的思想方法，構建知識網絡圖.通過整體設計、實施，幫助學生獲取系統的知識，促進學生的深度學習，讓學生從整體上把握學科知識、學科邏輯、學科本質，形成有意義且可遷移的知識體系.”[2]

如何在初中數學課中體現大單元設計和實施教學思想呢？以下通過對一節課的后續思考談談筆者的理解.

最近聽了一節小學數學課“圓柱的表面積”.我們知道圓柱體的表面積是由兩個平面和一個曲面組成的.小學生在此之前學習的都是求平面圖形的面積，圓柱是立體圖形，探究圓柱表面積的計算方法不是一件容易的事.

課前老師給每個學生準備了學具，課堂上老師先讓學生通過摸一摸，知道圓柱的表面是由不同的面組成的，并讓學生初步感知圓柱體的平面部分和曲面部分.然后老師帶領學生用剪刀把圓柱沿邊緣剪開，剪下兩個圓.在剪圓柱側面時，可能會有學生斜剪，也可能會有學生直剪，還有其他不同的剪法，展開后得到的形狀是平行四邊形或矩形.

通過親自動手剪和拼，學生可以理解和驗證曲面變平面的過程，得到圓柱展開圖（如圖1）.

通過剪和觀察，學生發現側面的長與圓的周長相等.由此，教師引導學生得到圓柱表面積的計算公式

S圓柱=2S底面圓面積+S側面積=2πr2+2πrh.

在得到圓柱體表面積公式后，老師并沒有就此罷休，而是繼續帶領學生觀察公式特征并對公式進行推導變形，公式2πr瘙簚r+2πr瘙簚h通過提取公因式得到2πr（r+h），即

S圓柱=2πr瘙簚r+2πr瘙簚h=2πr（r+h）.

利用這個公式進行計算可更為簡便快捷，直接代入圓的半徑和圓柱的高即可求得圓柱體表面積.

接著老師又用圖形進行了演示，如圖2.

這樣把兩個圓通過學生熟知的割圓法拼成了一個長與側面一樣，寬為底面圓半徑的長方形，再與側面的長方形拼在一起構成新的長方形，此時新長方形的長仍是2πr，寬變成了（r+h），所以圓柱側面積為2πr（r+h），即

S圓柱=2πr（r+h），

其中2πr是底面圓的周長，也就是說，可以用圓柱的底面圓周長來計算圓柱的表面積.

老師從數和形兩個方面推導了新公式，用數形結合的思想解決問題，引導學生深入思考，使學生的認知和思維向前跨出了一大步.

本節課對我的啟發及后續思考很多：

首先是這節課本身.在這節課的教學過程中，從數和形兩個方面給出了圓柱表面積公式的變形和推導，對于能力更強的學生而言，可以進行更進一步的探究：還有其他的立體圖形的表面積也可以用類似的方法來解決嗎？其實正方體的表面積也可以把幾個面都轉化為一個新的長方形來計算.如，計算圖3中棱長為a的正方體的表面積為

其中，4a是正方體上下兩個正方形的周長，也就是正方體的表面積也可以用正方形的周長來計算.根據正方體表面積的推導可以知道任意的正n棱柱的面積也可以這樣思考和計算.

這種轉化方式雖然在計算正方體表面積的過程中比一般的方法麻煩一些，但是和本節課內容結合起來，會讓學生認識到知識之間的聯系和數學解決問題的思想.這樣讓學生明確解決問題的一般方法，可實現知識的遷移，提高推理與探究的能力.對能力強的學生而言是挑戰，也是很好的鍛煉；對基礎弱的學生來說，也是一次信心的培養.

其次是引發對初中數學教學的聯想.

初中學段也有類似的知識點，人教版九年級數學上冊第106頁計算正六邊形的面積：

如圖4，有一個亭子，它的地基是半徑為4 m的正六邊形，求地基的周長和面積（結果保留小數點后一位）.

課本解法如下：

因此，亭子地基的周長

l=6×4=24（m）.

因此，亭子地基的面積

本題上述過程也可以表示為：

本章另一個知識點人教版九年級數學上冊第112頁在學習扇形的面積時，有如下表述：

這樣，扇形的面積可以用圓心角來計算，也可以通過弧長來計算，此時l為扇形的弧長.

正多邊形和圓的面積可以這樣推導計算，這種化歸方法是不是只適合于圓和類圓圖形（如正多邊形）呢？

九年級推導三角形內切圓半徑時，運用面積法表示任意三角形的面積，如圖7，從數量方面推導如下：

其中r為內切圓半徑.

因為（AB+AC+BC）是三角形的周長，這個周長也可以用l表示，那么

即任意三角形的面積也可以用周長和內切圓半徑來計算.

圖形方面的推導如圖8：

繼續思考，任意多邊形的面積可以用類似辦法來求嗎？

如圖9，一個有內切圓的任意四邊形，可以分解為四個三角形，我們發現也可以從數與形兩個方面進行推導和證明：

因為（AB+BC+CD+AD）是四邊形的周長，這個周長也可以用l表示，那么

圖形方面的推導如圖10：

以上通過割圓法對正多邊形和圓、弧長和扇形面積、三角形面積及內切圓半徑等知識進行分析和推導，串聯“圓”這一整個章節，探究相關知識點的內在本質，找到相通點及原理，立足大單元教學思想，把碎片化的知識點進行整合貫通，

整體思考和設計

圓的相關內容，體現知識的整體性和相關性，同時體現數學的學科素養.

“區別于傳統理念中針對數學教材中某一章節內容進行的單元教學，大單元的立足點不應該拘泥于某一個章節或單元的知識點，教師更應該站在統籌全局的高位，‘瞻前顧后，左搭右連’，對當前所教知識內容在整個學期乃至整個學段所居位置有個全局性的定位，進而隨時調整當前所授數學知識，以便更適合學生的理解和學習.大單元的‘大’應該體現出教學視野大.教師的視野不能局限于眼前零碎的考點和知識點.”[3]

在教學“圓”的這些知識點時，可以結合小學階段學習圓面積時用到的割圓法的原理和方法，利用面積轉化重新構建系統和調整某些知識點的順序，引領學生重新整合分散的知識點，既利于學生理解知識，也能理解前人在探究知識的時候經歷的過程和思考的路徑，從而在理解和學習數學知識的過程中，發現、提煉方法，形成數學思想，發展數學核心素養.

即使知識點和學段不同，但是，數學本質和數學思想都時時處處得以體現.用大單元的思想來整合這些知識點，從數和形兩個方面來推導和闡述某個公式，不僅利于學生理解和靈活應用知識，還能讓學生對數學思想方法產生深刻的理解，提升數學思維品質.

參考文獻：

[1]曹一鳴.新版課程標準解析與教學指導：初中數學[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉娜，吳曉紅.基于大概念的單元教學設計——以“平面向量”單元為例[J].亞太教育，2022（20）：100-102.

[3]譚遠泊，黃翔.大單元教學視域下中學數學復習課教學研究[J].教學與管理，2023（6）：87-90.