勾股定理的三個新證法

摘要：勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一.勾股定理是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結合的紐帶之一.本文中圍繞直角三角形三邊構建相似形以及輔助線段，通過面積的相似比論證了勾股定理，在提出新的證明方法的同時也引出了常數(shù)因子k以及對解題非常有幫助的兩個結論.

關鍵詞：勾股定理；證明；直角三角形；圓；相似

1 談古論今

勾股定理是平面幾何學中一個非常重要的定理，長期以來，人們對它作了大量的研究，找到了約500種證明方法，而且豐富了研究數(shù)學問題的手段和方法，促進了數(shù)學的發(fā)展.

在我國，有據(jù)可查的勾股定理最早的由來是《周髀算經(jīng)》上記載著的周公問商高用矩的故事，那時商高便得到了勾股定理.因此，在我國勾股定理也有稱為商高定理的.漢時，我國著名數(shù)學家趙爽通過自己獨創(chuàng)的“弦圖”證明了勾股定理.其后，劉徽在《九章算術》中也給出了兩種證明方法.

在西方，人們稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.據(jù)說畢達哥拉斯在得出這條著名的定理時，認為是上天的恩賜，曾向神供奉了一百頭牛，故又稱為“百牛定理”.但畢達哥拉斯并沒有著作流傳于世，也沒有任何后世的文獻記載畢達哥拉斯所給出的證明方法，有的只是猜測.西方有據(jù)可查最早給出勾股定理證明的是偉大的希臘數(shù)學家歐幾里得，在歐幾里得的名著《原本》中的第一篇第47個命題就是勾股定理，書中用面積的方法給出了這個定理的嚴格證明.盡管歐幾里得本人寫的《原本》的手稿現(xiàn)已無存，后來的《原本》是通過參考以后其他作者的許多修訂本、評注本和簡評重新整理出來的，但《原本》中勾股定理的證明屬于歐幾里得這一點是可信的.

據(jù)此推測，西方世界給出勾股定理證明的時間應是公元前500年左右，而在中國至遲在周公去世那一年也即公元前1105年，中國古人商高便能證明一般的勾股定理了.這可能比西方最早給出一般勾股定理的證明早約500年.

筆者在潛心研究中西方不同證法之后，借鑒前人的證明思路，得出了三種自己的證明方法，并在論證過程中得出了兩個重要結論.

2 勾股定理的經(jīng)典“中式”和“西式”證法

2.1 中式證法——趙爽弦圖證法

四個全等的直角三角形按如圖1所示方式拼接成一個大正方形ABCD，設直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，則大正方形ABCD的邊長為c，小正方形EFGH的邊長為（a-b），根據(jù)大正方形面積=四個直角三角形面積+小正方形面積，可列方程，得

化簡，得

a2+b2=c2

弦圖之美，美在簡約，然不失深厚，經(jīng)典而久遠，被譽為“中國數(shù)學界的圖騰”.2002年在我國北京召開的世界數(shù)學家大會就采用了此圖作為會徽.趙爽用數(shù)形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明，后世稱這個圖形為“趙爽弦圖”.

2.2 西式證法——歐幾里得證法

如圖2，△ABC是直角三角形，分別以△ABC的三條邊的邊作正方形ADEB，ACGF，BCHI，連接CD，BF，過點C作CN⊥DE于點N，交AB于點M.設BC=a，AC=b，AB=c，則根據(jù)“SAS”可得△ABF≌△ADC.

同理可證：S矩形BENM=S正方形BCHI=a2.

又S正方形ADEB=S矩形ADNM+S矩形BENM=c2，

∴a2+b2=c2.

3 勾股定理“中西合璧”新證法

3.1 新證法一

結合“趙爽弦圖”的等積思想，筆者得出如下證明方式：

如圖3，在直角三角形ABC中，作AD⊥BC于點D，∠BAC=∠ADC=90°，AB=c，BC=a，AC=b.

∵△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，

3.2 新證法二

清代數(shù)學家梅文鼎先生借鑒“趙爽弦圖”中的出入相補原理，在《勾股舉隅》一書中給出了勾股定理的一種新的證明方法，結合“新證法一”以及梅文鼎先生的構圖思路，筆者得出如下證明方式：

如圖4所示，△ABC是直角三角形，以斜邊BC為一邊作正方形BCDE，過點A作KL⊥BC于點L，KL交DE于點K，則

BL=AB·sin∠LAB.

∵∠LAB=∠ACB，

∴S矩形KLBE=BL·BE=BL·BC=AB2.

∴S矩形KLCD=CL·DC=CL·BC=AC2.

∵S正方形BCDE=S矩形KLBE+S矩形KLCD，

S正方形BCDE=BC2，

∴BC2=AB2+AC2.

綜上證明，可得如下結論：

結論1：以正方形一邊為斜邊的直角三角形斜邊上的高將正方形分成兩個矩形，這三個矩形（包括正方形）的面積均為其所夾直角三角形邊長的平方.

有了這個結論及其圖形，勾股定理便一目了然，同時它也將為我們的解題提供便利之處.

3.3 新證法三

基于歐幾里得構造相似形證明方法的啟發(fā)，筆者得出了第三種新的證明方法.

在闡述新證法之前我們先來探求以下兩個結論：

①直角三角形斜邊上的高線與中線之比為sin 2θ（θ為直角三角形中最小的銳角）；

如圖5所示，△ABC是直角三角形，⊙O是Rt△ABC的外接圓，CH⊥AB于點H，圓的半徑為r，∠CAB=θ.

（2）求⊙O的面積與△ABC的面積之比k.

解：

（1）∵∠COH=2∠CAB=2θ，OC=r，

∴CH=r·sin 2θ.

接下來我們運用以上結論來證明勾股定理：

如圖6所示，△ABC是直角三角形，圓O、圓O′、圓O″分別是以直角三角形ABC的三邊為直徑所作的三個圓，過點C作AB邊的平行線分別交圓O′、圓O″于E，F(xiàn)，過點B作AC邊的平行線交圓O于點D，連接AE，BF，AD，OD，O′E，O″F，作EH⊥AC于點H，F(xiàn)I⊥BC于點I，DG⊥AB于點G.（為了方便看圖，圖中用半圓代替圓.）

證明：

由已知可得△AEC，△CFB，△ADB，△BCA，△BJC，△CJA均為直角三角形.其中，△CFB≌△BJC，△BCA≌△ADB，△CJA≌△AEC.

∴S△ADB=S△BCA=S△BJC+S△CJA.

∴S△ADB=S△AEC+S△CFB.

設圓O的面積為S1、半徑為r1，圓O′的面積為S2、半徑為r2，圓O″的面積為S3、半徑為r3.

由結論②，可得

S1=k1S△ABD，S2=k2S△AEC，S3=k3S△CFB.

∠ABD=∠ACE=∠CBF，

∴k1=k2=k3.

∴S1=S2=S3.

∴πr21=πr22+πr23.

∴r21=r22+r23.

∴AB2=AC2+BC2.

由上述證明，不但提出了一個證明勾股定理的模型（如圖7），還提出了一個比例因子k.

在此模型中，以三條邊為基準作三個相似形，若其面積只與其對應邊的平方有關，則都可以找到一個類似于k的比例因子，從而用來證明勾股定理.

4 一點感悟

在論文的寫作過程中，筆者對勾股定理的證明做了無數(shù)的嘗試.當看到歐幾里得給出的偉大證明后，筆者逼著自己去觀察正方形之外的圖形.首先想到的是圓，因為只要證明以直角邊為直徑的兩圓面積之和等于以斜邊為直徑的圓的面積，那么勾股定理就可以由圓的面積公式導出.但利用幾何畫板做了無數(shù)次嘗試之后想放棄時，最后抱著再努力一次的想法把圖形打印出來，在帶有圖形的A4紙上勾勒出了一條條輔助線，一個偶然的機會構建出了上文中的圖形，證明思路也逐漸形成，隨之而來的卻是屢屢的失敗，不過總算有了小小的進展，徹夜的失眠卻想清楚了證明的每一個步驟，一切問題迎刃而解.名留青史的夢想在大腦中閃現(xiàn)，但是本人還是比較清醒：兩千年中產(chǎn)生了400多個證明方法，能提出一個新的證明方法的可能性幾乎是零.隨后便查閱了許多文獻，請教了許多教授，也逐步修改完善了證明的步驟，直到提交論文的前一天去圖書館借閱了一本名為《勾股定理》的書，書中第127頁講述了一種“折疊的袋子”的證明方法，利用折疊相似形的思想證明了勾股定理，極大地縮減了證明步驟，但其中的理論依據(jù)缺乏論證，若以本文中的2個結論作為支撐，那無疑將是一個偉大的證明.自此本人也深有感觸，數(shù)學研究不是一朝一夕的功夫，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.