開展現象教學 抓住數學本質

摘要：課堂教學要從揭示數學的本質出發，學生只有理解了本質，才真正會應用知識解決實際問題.但是，當前很多學生的解決問題能力不足，本文中結合一次數學作業中的一道“意外”的錯解題開展現象教學，思考出錯原因，讓學生在現象教學中理解數學本質的重要性.

關鍵詞：現象教學；數學本質；旋轉

如下是一次數學作業中的一道“意外”錯解題：

一副直角三角板按如圖1所示的方式放置（BC與EF重合），將三角板DEF繞點C逆時針旋轉α（α＜90°），當AC∥DE時，α=（" ）.

A.15°

B.20°

C.30°

D.45°

1 提出問題

根據統計發現，這道題全班只有18人正確，其余32人均錯誤，正確率只有36%.

分析題意后可知本題比較容易，只需畫出旋轉后的等腰直角三角形，并利用AC∥DE解題即可.那么，究竟是什么原因導致學生的錯誤率如此高？

2 嘗試答疑

對該題如此高的錯誤率產生疑問后，筆者嘗試尋找導致學生錯誤的原因.首先，收集學生的作業，查閱智慧作業本上此題的解題筆跡；其次，抽查詢問錯解該題的學生，了解他們分析該題時的原始思路；最后，抽查詢問正確解決該題的學生，了解他們的原始思路及方法.于是，將解題信息整理成了下表（表1）：

通過對比以上表格信息，筆者發現了問題所在：首先，學生缺少畫圖習慣，且畫圖不夠清楚、規范；其次，學生不清楚與旋轉有關的知識點，尤其是畫好旋轉后的等腰直角三角形，無法找到旋轉角，而本題恰好要先找到該旋轉角，然后利用“兩直線平行，內錯角相等”解題.

尤其是筆者詢問學生錯因時，一個學生“老師，旋轉角是哪個角”的提問，讓筆者徹底清楚了學生的真正錯因所在，即沒有真正理解旋轉的本質.

3 現象教學

了解學生真正錯因后，筆者圍繞著“老師，旋轉角是哪個角”的提問展開了現象教學.

3.1 創設情境，導入問題

師：同學們，夏天快到了，炎熱的夏天我們會打開電扇吹吹風.（打開班上的電扇，開低檔，讓其緩慢轉起來.）有時候，也會手搖一把扇子.（拿出事先準備好的扇子，緩慢打開.）同學們觀察并思考，它們讓你想起了數學中圖形的哪種運動？

生：圖形的旋轉.

設計意圖：從學生熟知的情境入手，更有利于吸引學生的注意力.同時，對于熟悉的情境，學生積累了相應的生活經驗，有利于分析問題.

3.2 問題轉化，形成初知

師：假設電扇中心部分為一個點（O），且是旋轉中心，扇葉為一條線段（OA），如圖2.你能畫出扇葉OA繞著中心點O順時針旋轉45°后的圖形嗎？

學生畫出旋轉后的圖形，如圖3所示.

師：你能找到旋轉角嗎？

生1：能，旋轉角就是∠AOA′.

師：對，我們將旋轉前的線段OA稱為“始邊”，將旋轉后的線段OA′稱為“終邊”.始邊OA和終邊OA′之間所成的角就是旋轉角.

師：如果將線段OA換成三角形，那么旋轉后的圖形又該怎樣畫呢？如圖4，請同學們畫出△ABC繞著點O順時針旋轉45°后的圖形△A′B′C′.

學生開始作圖.

師：有哪位同學分享下你的思路？

生2：畫△ABC繞著點O旋轉后的圖形，其實和剛才的OA繞著點O旋轉一樣.所以，將△ABC每

個頂點繞著點O旋轉，得到對應點后連接對應點就畫出了旋轉后的圖形.

師：思路是正確的，那么如何具體操作呢？

生3（上講臺展示操作過程）：如圖5，首先，連接OA，OB，OC；然后，分別作它們繞著點O順時針旋轉45°后的圖形，得到它們的對應點A′，B′，C′；最后，連接點A′，B′，C′，得到△A′B′C′.

師：那么，如何找出其旋轉角呢？

生4：只需找到一點及其旋轉后的對應點與點O的連接形成的角就行了.比如，A和A′是一組對應點，將它們分別和點O連接，形成的∠AOA′就是旋轉角.同理，可得到旋轉角∠BOB′和∠COC′，它們都等于45°.其實，這和圖4中找旋轉角的方法一樣.

師：是的.OA和OA′所成的角就是旋轉角.

設計意圖：將具體的情境抽象化建立模型，是研究和分析并解決實際問題的重要方法[1].同時，從最簡單的線段旋轉問題入手，進一步分析圖形的旋轉問題，讓學生了解圖形旋轉的本質就是點的旋轉.

3.3 問題解決，形成方法

通過以上探究，學生已經理解了尋找旋轉角的方法，隨即筆者將學生思路轉移至本文開頭的錯解題，讓學生根據剛才的復習完成本題的訂正：

解：如圖6所示，作出三角板DEF繞點C逆時針旋轉α（α＜90°）后的圖形△D′E′F′.此時，∠ECE′=α.因為AC∥DE，所以∠ACB+α=∠CE′D′=∠CED=45°.又∠ACB=30°，所以α=45°-30°=15°.

故選：A.

4 真題模練

為讓學生一方面更好鞏固“旋轉”的本質，另一方面利用該本質解決問題，在利用現場教學解決學生疑難處、易錯處后，教師引入近幾年的中考試題.如下：

（2024·吉林）如圖7，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4，0），點C的坐標為（0，2）.以OA，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′，則點B′的坐標為（" ）.

A.（-4，-2）

B.（-4，2）

C.（2，4）

D.（4，2）

5 教學思考

現象教學要求教師從數學現象入手，特別是從學生熟悉的現象入手，這樣有利于學生憑借已有的生活經驗分析問題、解決問題[2].同時，從基礎的現象出發，一步步引導學生深入探究與分析，從而認識數學的本質.

本文中從學生的疑問“哪個角是旋轉角”出發，幫助學生一步步回憶如何畫旋轉圖形及如何找旋轉角.同時從最簡單的問題入手，讓學生找到圖形旋轉的本質就是點的旋轉，旋轉角就是始邊與終邊所成的角.找到了這一方法，相信學生日后再遇到這樣的問題時，定能準確無誤地找到旋轉角.

綜上所述，找準錯因所在，從最簡單的問題探究數學知識的本質，是解決學生易錯題的重要方法.正如本文利用現象教學，從學生熟悉的現象入手，一步步從探究到理解問題，解決了知識“盲點”.

參考文獻：

[1]楊威.抓住數學本質，讓數學教育找到回家的路——基于“數學本質”的習題課教學分析[J].教育科學論壇，2015（19）：42-44.

[2]朱從帥.課堂教學不容忽視數學的本質——“反比例函數的圖象與性質”同課異構教學的思考[J].初中數學教與學，2012（16）：18-20.