淺析高中數學中的恒成立問題

在高中數學學習中我們經常會遇到一類題型——恒成立問題. 它們以函數知識為載體，涉及一次函數、二次函數的性質、圖像，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法.恒成立問題是高中數學學習中的熱點問題.下面筆者以這類問題為藍本，對它進行解析，供同學們在學習中參考.

一、恒成立問題的基本類型

類型1：設f（x）=ax+bx+c（a≠0），

（1）f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且Δ<0；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且Δ<0.

類型2：設f（x）=ax+bx+c（a≠0），

（1）當a>0時，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立？圳-<αf（α）>0或a≤-≤βΔ>0或->βf（β）>0，f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立？圳f（α）<0f（β）<0；

（2）當a<0時，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立f（α）>0f（β）>0，

f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立-<αf（α）>0或a≤-≤βΔ<0或->βf（β）<0.

類型3：f（x）>α對一切x∈I恒成立？圳f（x）>αf（x）<α對一切x∈I恒成立？圳f（x）>α.

類型4：f（x）>g（x）對一切x∈I恒成立？圳f（x）的圖像在g（x）的圖像的上方或f（x）>g（x），x∈I.

對于在區間D上求函數f（x）的最大值或者最小值問題，我們可以采取合理有效的方法進行求解，通常可以考慮利用函數的單調性、函數的圖像、二次函數的配方法、三角函數的有界性、均值定理、函數求導等方法求函數f（x）的最值.

二、恒成立問題在解題過程中常見以下題型

（一）構造一次函數法.若原題可化為一次函數型，則由數形結合思想利用一次函數知識求解，十分簡捷.

給定一次函數y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]內恒有f（x）>0，則根據函數的圖像（直線）可得上述結論等價于f（m）>0f（n）>0同理，若在[m，n]內恒有f（x）<0，則有f（m）<0f（n）<0.

例1：對于滿足|a|≤2的所有實數a，求使不等式x+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.

分析：在不等式中出現了兩個字母：x及a，關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數.顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于a的一次函數大于0恒成立的問題.

解：原不等式轉化為（x-1）a+x-2x+1>0在|a|≤2時恒成立.

設f（a）= （x-1）a+x-2x+1，則f（a）在[-2，2]上恒大于0，故有：f（-2）>0f（2）>0即x-4x+3>0x-1>0，解得：x>3或x<1x>1或x<-1.

∴x<-1或x>3，即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

此類題本質上是利用了一次函數在區間[m，n]上的圖像是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.

（二）構造二次函數法.涉及二次函數的問題是復習的重點，同學們要加強學習、歸納、總結，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運用.

（1）若二次函數y=ax+bx+c（a≠0）大于0恒成立，則有a>0且Δ<0；

（2）若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，則可以利用韋達定理及根的分布知識求解.

例2：若函數f（x）=的定義域為R，求實數a的取值范圍.

分析：該題就轉化為被開方數（a-1）x+（a-1）x+≥0在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數的討論.

解：依題意，當x∈R時（a-1）x+（a-1）x+≥0恒成立，所以，①當a-1=0，即當a-1a+1≠0時，a=1，此時（a-1）x+（a-1）x+=1≥0，∴a=1.②a-1≠0時，即當a-1>0，Δ=（a-1）2-4（a-1）≤0時，有a>1a-10a+9≤0？圯1

綜上所述，f（x）的定義域為R時，a∈[1，9].

在解決函數在給定區間上求參數取值范圍問題時利用二次函數型判別式法解決有時并不是最好的方法，我們還可以選擇更為簡潔方便的方法——分離參數法.

（三）分離參數法.若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解.

例3：已知當x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（x∈R），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離.

解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值問題.

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

∴-a+5>3即>a-2；上式等價于a-2≥05a-4≥05a-4>（a-2）或a-2<05a-4≥0，解得≤a<8.

恒成立問題在高中數學中還有其他一些形式，限于篇幅原因，這里不一一列舉.我們在學習的時候必須重點把握和歸納總結，在平時的訓練中不斷領悟和總結，看清它的實質，做題時才會更加順利.