分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用

摘 要： 分類討論作為一種數(shù)學(xué)思想，是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效手段，能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.它歷年來都是高考的熱點與重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，學(xué)生總是難以把握根據(jù)什么分類，怎樣分類.本文結(jié)合例題介紹分類討論在高考解題中的應(yīng)用，通過不同類型的例子讓學(xué)生進一步理解分類討論方法及其在高考中的考查形式與特點.

關(guān)鍵詞： 分類討論 數(shù)學(xué)思想 高考解題 應(yīng)用

分類討論作為一種數(shù)學(xué)思想，簡單說就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略，是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效手段，能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.所以它歷年來都是高考的熱點與重點，高考中的壓軸題經(jīng)?？疾榉诸愑懻摰乃枷?但對學(xué)生來說也是一個難點，因為對根據(jù)什么分類，怎樣分類，學(xué)生總是難以把握.下面結(jié)合例題介紹分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用.

一、求解問題中涉及數(shù)學(xué)概念是分類定義的

有些數(shù)學(xué)概念本身就包含了分類，如絕對值的定義，直線的斜率，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，這種分類討論題型可以稱為概念型.

分析：判斷指數(shù)函數(shù)圖像時，要對底數(shù)a分a>1和0

評注：本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖像變換和函數(shù)單調(diào)性及特殊點，考查學(xué)生分類討論的能力，關(guān)鍵是按底數(shù)分類討論，并結(jié)合圖像與y軸交點位置排除錯誤答案.

二、求解運算過程中引起的分類討論

有些數(shù)學(xué)問題在運算過程中產(chǎn)生兩種以上情況就需要分類進行討論，如不等式兩邊同乘以一個變量，就需要討論這個變量是正、負還是零；由同一個角的正弦值求余弦值，需要開方，要討論正負；等比數(shù)列的前n項和的公式分為q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型.

評注：在等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算求解過程中，經(jīng)常遇到需要等式兩邊同除以一個字母的情況，一定要注意分類討論，做到不漏解，完整地解答題目.

三、由參數(shù)變化引起的分類討論

當數(shù)學(xué)問題含有變量或參數(shù)時，它們?nèi)〔煌闹禃栴}產(chǎn)生不同的影響，因此解題時必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論.如解不等式ax>2時，分a>0、a=0和a<0三種情況討論，可以稱為含參型.

（Ⅰ）證明：當0≤x≤1時，

（?。┖瘮?shù)f（x）的最大值為|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0.

（Ⅱ）略.

分析：本題涉及變量較多，要科學(xué)合理地分類，注意分類的層次性.

評注：本題第二小題是一個開放性問題，題中變量t<0，但此時直線l并不一定滿足條件，探索發(fā)現(xiàn)需分-1

五、解決實際問題中的分類討論

如處理排列、組合概率等應(yīng)用問題，通常需要根據(jù)問題的實際意義，將研究對象先進行適當分類，才有利于解決問題.

例題5：（2012浙江理6）若從1，2，2，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ）

A.60種 B.63種 C.65種 D.66種

評注：仔細觀察問題后，發(fā)現(xiàn)必須在解決問題前將1至9分成兩類：奇數(shù)和偶數(shù)，然后才能非常有條理地討論4個數(shù)之和為偶數(shù)的三種情況，學(xué)會分類處理是關(guān)鍵.

從以上五個方面的例題可以看出，解答分類討論問題時，基本方法和步驟是：首先，確定討論對象及所討論對象的全體的范圍；其次，確定分類標準，正確合理地進行分類，即標準統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥，沒有重復(fù)；再次，對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結(jié)果；最后，歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.