高考排列組合題的解題方法與技巧

【摘要】排列組合是高中數學的重點和難點，為后面的概率統計打基礎。這類試題雖然在高考中所占比重不大，但試題都具有一定的靈活性和綜合性，本文就排列組合問題常見題型的求解方法進行探討。

【關鍵詞】高考 排列組合 解題技巧

排列組合問題是高中數學的重要內容，又是銜接初等數學與高等數學的紐帶，也是高考的必考內容。明確高考中排列組合與概率統計問題的命題特點，掌握其解題策略，對于在高考數學中取得優異成績尤為重要。數學教學中，提高學生解排列組合題的有效途徑是將一些常見題型進行方法歸類，構建模型解題，這樣有利于學生認識解題模式，進而熟練應用。

一、相鄰問題捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個整體參與排序，然后再單獨考慮這個整體內部各元素間的順序。捆綁法一般都應用在不同物體的排序問題中。

例1 5個男生和3個女生排成一排，3個女生必須排在一起，有多少種不同排法？ A.240 B.320 C.450 D.480 正確答是B。

解析：采用捆綁法把3個女生視為一個元素，與5個男生進行排列，共有 A（6，6）=6x5x4x3x2種，然后3個女生內部再進行排列，有A（3，3）=6種，兩次是分步完成的，應采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =320（種）。

二、不相鄰問題插空法

對于要求某些元素不能相鄰，其他元素將其隔開的問題，可以先把其他元素排好，再將要求不相鄰的元素插入它們的間隙或兩端的位置。

例2 七個人并排站成一行，如果要求甲、乙兩個人必須不相鄰，那么不同排法的種數是（ ）

A.1440種 B.3600種 C.4820種 D.4800種

分析：除甲、乙外，其余5個人的排列數為種，再用甲、乙去插6個空位有種，不同排法種數是3600種，故選B。

三、無差別問題隔板法

把無差別的元素分配到有差別的位置，常用隔板模型法。

例3 將12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，問每個盒子中至少有一個小球的不同放法有（ ）種。

分析：將12個小球排成一排，中間有11個間隔，在這11個間隔中選出3個，放上“隔板”，若記“|”看作隔板，則如圖00 | 0000 | 0000 | 00隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數，即上圖中1，2，3，4四個盒子相應放入2個，4個，4個，2個小球，這樣每一種隔板的插法，就對應了球的一種放法，即每一種從11個間隔中選出3個間隔的組合對應于一種放法，所以不同的放法有165種。

四、定位問題優先法

對于有限制條件的排列問題，首先考慮受限制的元素（或位置），再考慮其余元素（或位置）。

例4 從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ） A.280種B .96種 C.180種 D.240種 正確答案是D。

分析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C（4，1）=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導游、導購、保潔三項不同的工作有A（5，3）=10種不同的選法，所以不同的選派方案共有C（4，1）×A（5，3）=240種，所以選D。

五、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序稱為定序問題，這類問題可用縮小倍數的方法求解較為方便。

例5 A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果B必須站A的右邊（A、B可不相鄰），那么不同的排法種數有（ ） A.24種 B.60種 C.90種 D.120種

分析：若不考慮限制條件，則有Ai種排法，而A、B之間排法有種，故B站A右邊的排法只有一種符合條件，故符合條件的排法有60種，故選B。

六、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式n（AUB）=n（A）+n（B）-n（AnB）來求解。

例6 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設全集I={6人中任取4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有： n（I）-n（A）-n（B）+n（AnB）（種）。

七、“至多”“至少”問題分類、排雜法

關于“至多”“至少”類型的組合問題，可用分類的方法或排雜的方法。

例7 從5個學生中選三人參加代表會，其中甲、乙兩人中至少一人在內，共有多少種不同選法？ 分析：（分類法）若甲、乙中只選一人有種；若甲、乙都選有種。應用分類計數原理有9（種）；（排雜法）從5人中任選3人，再減去甲、乙都不在內的選法即可。故所求為9（種）。

總之，在解決排列、組合綜合性問題時，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定一個問題是排列問題還是組合問題，避免重復和遺漏，總結規律、掌握技巧，這樣可以提高分析問題和解決問題的能力。