平均值不等式

摘 要：介紹了一些常見的平均值不等式的運用技巧，并分別舉出與其對應的例題.

關鍵詞：平均值不等式；運用技巧；例題

平均值不等式是高中數學不等式一章中的最基礎、應用最廣泛的靈活因子，它是考查學生素質能力的一個窗口，是高考和競賽的熱點，它在數學領域有非常重要的作用.

因此，本文總結了一些常見平均值不等式的運用技巧，并對相關技巧分別舉例.

平均值不等式是不等式的重要內容之一，在不等式證明有廣泛的應用，但是在處理有關平均值不等式的證明問題時，并非每一個問題都可以看出它是否可以使用均值不等式，這就存在一個如何創造使用均值不等式的環境問題.此時會用到平均值不等式的一些運用技巧.

一、拆項法

注意到使用n次平均值不等式的前提必須是有n個和項或積項（注：在高中階段只要求n=2或n=3兩種情況），有時題設不具備n個項，這時我們可以考慮把一項或幾項進行分拆，產生n個項，以創造均值不等式的使用環境.

例1.已知a>b>0，求證a+■≥3.

證明：由a>b>0知，a-b>0，■>0，

于是a+■=（a-b）+b+■≥3■=3

當且僅當b=a-b=■，即a=2，b=1時等號成立.

二、添項法

對不具備使用平均值不等式條件的關系式，添加一些關系式，創造均值不等式使用環境，也是一種常用手段.

例2.設x1，x2…，xn都是正數，求證：■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn

（1984年全國數學競賽試題）

分析：由于左右兩邊均為和和式，直接使用均值不等式受阻，所以必須對原關系式填項，其目的一是去分母，二是降次.

證明：由x1，x2∈R+，知■+x2≥2■=2x1

同理可得■+x3≥2x2…，■+xn≥2xn-1，■+x1≥2xn

將這n個不等式兩邊分別相加，得到

所以■+■+…+■+■+（x2+x3+…+xn+x1）≥2（x1+x2+…+xn）

所以■+■+…+■+■≥x1+x2+…+xn

三、減項法

多元輪換對稱不等式，常可利用減元或減項的方法化為二元不等式，創造使用均值不等式的環境，然后輪換相加，以達到證明目的.

例3.已知a、b、c∈R+，求證：■+■+■≥■+■+■.

分析：考慮到待證不等式為三元輪換對稱不等式，減元c，即為■+■≥■，由此不等式輪換相加即可.

證明：因為a、b、c∈R+，所以：■+■≥2■=■≥■

同理可證■+■≥■，■+■≥■

三個不等式相加即得：■+■+■≥■+■+■

四、代換法

此方法多用于含三角函數的題，可想辦法將其用變量代換.

例4.0

（1999年河南省高二競賽題）

解：令tan■=t，由00，所以y=■=■+■=■+t=■+■t≥2■=■.當且僅當■=■t即t=■，此時x=■，上式取“=”號，故ymin=■.

五、改變結構法

有些不等式僅從式子結構上看并不具備使用均值不等式的環境，但如果對結構式做適當的變化，解決的方式就一目了然了.

例5.已知ai、bi，∈R+，i=1，2，3.求證：

■≥■+■

分析：作恒等變形，改變待證不等式的結構，即要證

■+■≤1

事實上， ■≤■（■·■·■）■≤■（■·■·■）兩式相加即可得證.

平均值不等式始終貫穿于高中數學和大學數學中，它是不等式的基礎，是應用最廣泛的靈活因子.本文主要介紹的一些常見平均值不等式的運用技巧，體現了平均值不等式在數學問題中的靈活性、廣泛性與重要性.

參考文獻：

戴永.知識專題與方法技巧（高中數學）.天津：天津科學技術出版社，2004.

（作者單位 內蒙古自治區呼倫貝爾市海拉爾區謝爾塔拉中心學校）

？誗編輯 魯翠紅