小學數學批判性和敏捷性思維構建的策略

《 義務教育數學課程標準 》多次提到，要在小學教學中發展學生的數學思維，培養學生數學思考的能力。數學思維包括哪些品質呢？筆者認為，在小學數學教學中，要積極培養和發展學生的數學思維，發展深刻性，有兩個面向：批判性和敏捷性。那么如何培養學生思維的批判性和敏捷性品質呢？根據多年的教學實踐，筆者談談自己的體會。

一、思維的品質：批判性和敏捷性

何謂數學思維的批判性？其具體表現是什么呢？通過教學實踐，會發現有的學生善于進行思維判斷，自控思維過程，不盲從，不輕信。這種批判性的思維，其品質來源，與學生對思維活動各環節的自我調整和校正有密切關聯，而這種校正又來自學生對問題本質的深刻認識和周密思考，最終作出全面正確的判斷。由此可知，思維品質的批判性是在深刻性的基礎上發展起來的。

小學數學批判性思維的具體表現，從數學過程來看，就是一個學生能夠精細地估計數學材料，準確選擇推理條件；善于從正反兩方面思考推理過程，并能及時調整和校正。在數學推理的整個環節中，又能夠做到從不同角度理解概念，從正反兩方面區分相近概念；在運算法則、定律、性質等數學基礎中很快找到適用的條件。

更加難能可貴的是，批判性思維的基本表現就是善于發現可能出現的錯誤傾向，并獨立排除錯誤干擾。比如在運算時能夠排除無關因素的干擾，直奔著解決問題而來，進行辯證思索與分析，對解答結果能自覺作出估計和檢驗。例如解這道題：“一個平行四邊形相鄰兩條邊的長度分別是12cm和8cm，量得它的高是10cm，它的面積是（ ）平方厘米。”題目看似主要是考查平行四邊形面積計算知識，只要找到對應的底面和高就可以得出結論。但在試題檢測中，卻少有學生能夠找到答案。大多得到的結果是120平方厘米或80平方厘米，其推理過程為：既然平行四邊形的面積是底乘以高，那么用哪個乘都可以，所以結果就是兩個中的任何一個都可以。學生為何會犯這樣的錯誤？原因在于思維模式被固定化了，只顧著考量平行四邊形的面積問題，而忘記了三角形的相關知識。如果能夠采用畫圖策略，通過批判性思維，建構一個三角形的平面概念，就不會犯這樣的錯誤。

還有的學生這樣想：先畫出一個標準的（對應8cm和10cm）的平行四邊形，然后找到8cm對應的高是什么，然后來計算面積。通過觀察發現，高是10cm，那么為什么不能是12cm呢？顯然如果這樣的話，就不會形成一個三角形。從這道題的解題過程可以看到，具有批判性思維的學生，能夠從紛繁復雜的條件中，迅速定位自己的需求，找到想要的條件并算出結果，這就是批判性思維的本質所在。

在數學思維的品質中，還設有一個敏捷性的層次。那么何為敏捷性思維呢？從廣義的角度來說，那是一種思維過程的簡縮和快速。具有敏捷性思維的學生，在問題解決的關鍵環節，能夠從條件出發，很快作出正確的判斷和推理。例如在這道題中：“一個等腰三角形，底角與頂角度數的比是1∶4，底角是多少度？”有些學生很快就列出算式：180÷5×4=144（度）。顯然這是錯誤的。關于一個等腰三角形的已知條件學生沒有考慮到，更沒有運用上。而具有敏捷性思維的學生則不同，很快就得到結論：根據等腰三角形可以知道，兩個底角相等，可以推理得知180度被分成了六份，底角就不難求出來了。

從上面的實例不難看出，小學生數學思維的敏捷性，與其快速準確概括數量能力有直接的關系，其掌握的數量關系能夠讓思維很快聚合，作出應對和推理，很快抓住問題的本質所在，快速進行等量交換，減少中間環節，減縮推理，達到運算系統的快速完備。

二、鼓勵質疑問難和獨立思考，發展思維的批判性

在教學實踐中，要發展學生思維的批判性，首先就要從鼓勵學生獨立思考入手，形成“自由爭辯”的學風。小學生容易受思維定勢的影響，盲目跟從，這對思維的批判性發展極為不利。為此我會故意制造一些錯誤，讓學生發現和評價。比如教學三角形，我要求用兩種方法求圖形面積。學生計算后發現，兩組三角形的底和高相對應，可是面積卻不相等。為什么？學生討論后發現，題目不符合三角形構成要素。通過故意預設錯誤，讓學生從質疑中獲得論證機會，借此訓練自己的批判性思維。

例如有這樣一道題：長方形的面積是20平方厘米，如果在這個長方形中畫一個最大的半圓，這個半圓的面積是多少？根據學生計算錯誤，可以發現存在的幾個問題：一是大多數學生慣性思維嚴重，下意識地要去找到圓面積的半徑，然后利用半徑求出圓的面積或是半圓面積；二是學生并不理解圓面積公式中r的平方代表什么；三是學生對圓和正方形的關系混淆。

如果學生能夠具有批判性思維，就可以排除慣性思維的干擾，直接發現問題所在。半圓的面積求法：3.14乘以半徑的平方除以2；而半徑的平方恰好和長方形的面積（長乘以寬）一致，這樣一來問題就很容易解決了。只要用3.14乘以長方形的面積就是圓的面積。要求出半圓的面積，再除以2就可以了。

值得注意的是，在解決問題的過程中，不僅要讓學生學會自我反省，還要學會自覺地加以檢驗。小學生自我意識薄弱，對自己的錯誤不易注意。我在教學中就會在組織練習的過程中，經常引導學生自覺地表述思維的過程并加以檢驗。同時多進行一些多項選擇題的訓練，有利于批判性思維的發展。題目雖然不大，但是涉及內容很廣，陷阱較多，要想選出正確的答案，必須用批判的態度去思考。

三、抓基礎促遷移，發展思維的敏捷性

思維的敏捷性是在知識的遷移中獲得的。在教學中我發現，只有從基礎入手，讓學生在掌握知識的過程中，把小學數學中的基本概念和基本原理融會貫通，而后建立數學的基本結構，并充分發揮這種結構的聯結和轉換功能，進行快速思維和推理判斷。

例如在兩商之差數量關系為基本結構的應用題中，我引導學生抓住a/b-a/c=f這一結構形式，就能夠通過多種形式，將無數種題型的可逆關系統一起來。這是一種運用結構建立聯系的方法。這種方法是從相互聯系、相互作用的內在規律上揭示數量關系，進行同構異素的思維處理。

在小學數學基礎訓練中，概括的程度越高，遷移量也就越大，這樣一來，小學生簡化結構的機會就越多，同構這樣大容量的知識來組織課堂，組織思維訓練，可以大大提高學生數學思維品質的敏捷性。另外在解決問題的過程中，教師要引導學生開展合理聯想，即把解決問題的策略和手段及其結論，類推到較復雜的情境中，迅速找到解決的辦法。這樣的聯想，就是數學思想中的構想。數學概念之間、數學現象之間的聯系是多種多樣的，通過構想和猜想，建立起架構，就能夠發展學生思維的敏捷性。

在數學教學的整個過程中，我注意采用強化和鞏固的形式，讓學生從形式中找到數學思維和本質內容，進一步抽象和符號化處理，通過關系聯想、概念化聯想，進行思維延伸和拓展，提高學生思維的敏捷性。例如在進行方程應用題的解答時，我引導學生通過結構形式，羅列不同的方程形式，建立多種解題思路和模型，預設多種解題類型，這樣小學生就可以在頭腦中建立起解題路徑，快速反應，敏捷應對。

再如在學習完長方體、正方體的特征后，我對學生提出問題：“如果我們對一個正方體切一刀，得到的橫截面的形狀會是什么？”在學生回答之前，我預想學生會認為是三角形、長方形、正方形，或是梯形。但在教學中通過讓學生討論，結果有學生提出完全不同的意見：將正方體切一刀，其截面也可以是正六邊形。這讓我在驚訝之余，立刻有了教學思路，著手讓學生進行實踐活動，發展其思維的敏捷性和批判性。

在實踐中，不少學生寫出了切土豆的實驗報告。報告中詳細記錄了正方體截面形成的過程：把土豆先切成一個正方體，然后用不同的刀法，切開土豆并觀察截面的形狀。借此學生提出自己的猜想：刀面接觸的每條棱上，都會切出一個截面的頂點，多邊形有幾個頂點就有幾條邊。通過實驗驗證了自己的猜想，學生繼續深入思考：正方體截面大小與什么有關系呢？經過批判性思維，學生在探究中發現規律所在：兩者的關系表現在刀面切下去的角度和刀面在棱上切割的位置不變時，正方體體積越大，截面就越大；正方體的大小和刀面在棱上切割的位置不變時，刀面切下去的角度越大，截面就越大；正方體的大小，在和刀面切割的角度不變的情況下，刀面在棱上的位置也決定截面的大小。

小學數學思維的批判性和敏捷性并非一朝一夕就可以培養出來的。筆者認為，這是一個需要長期研究的課題，有待于數學教師的共同努力和探索才能將其推向深入。《 義務教育數學課程標準 》對數學思維這個教學思想的提出，也正是基于素質教育的長遠目標而設的。我相信在不久的將來，數學教育中的數學思維必將有質的飛躍和發展。