論高等代數教學中的化歸

【摘要】化歸法是數學方法論中最基本的方法之一，通過挖掘高等代數教材中的化歸方法，探討在教學中利用轉化實現化歸以及通過化歸優化學生認知結構的各種途徑.教師在傳授知識的同時要有意識地向學生傳授化歸的思想.

【關鍵詞】化歸；轉化；認知結構

【基金項目】該文為河北省高等教育教學改革研究項目（104081）的研究成果之一

化歸，就是在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉化，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答.化歸如同“翻譯”，把同一問題用不同的形式在不同的水平上轉化出來，若是等價轉化，則所得的解就是原問題的解；若是非等價轉化，必須對轉化以后問題的答案作必要的修正才能得到原問題的解.“橫看成嶺側成峰”，從不同的特征出發可把問題轉化為不同的形式.在高等代數這門課程充分體現了化歸這一思想，它不論從總體內容的安排，還是到具體問題的解決上，到處都體現著化歸的思想.因此，在高等代數教學過程中，滲透化歸思想對培養學生思維的深刻性、靈活性、敏捷性和獨創性有很大的幫助，同時還可以優化學生的數學認知結構.

一、教學中運用轉化促進化歸

現代認知學習理論認為：學生認知結構的發展是在其認識新知識的過程中，伴隨著同化和順應的認知結構不斷再構建的過程.高等代數教學的目標就是促進學生良好認知結構的形成，而這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的.實際上，無論是同化還是順應，都是在原有認知結構和新的教學內容間，改造一方去適應另一方，這種改造就是轉化.下面討論在高等代數教學中如何運用轉化促進化歸.

1.通過抽象與具體的轉化產生化歸

具體是與抽象相對的概念，抽象是以具體作為基礎，具體則是把抽象概括出的性質應用于具體的過程.高等代數是一門嚴謹的基礎學科，其基本概念、定義、定理等內容是非常抽象的，而每一道數學問題又是具體的.我們要正確把握抽象知識與具體問題之間的邏輯關系，不但學會從具體到抽象的轉化，還要學會將抽象的定理、問題具體化.

在高等代數中，體現這一轉化思想的內容有很多，比如：抽象的因式分解理論與具體多項式的因式分解，抽象的初等變換與具體的行列式，抽象的線性方程組與具體的矩陣，抽象的二次型與具體的對稱矩陣，具體的線性空間與抽象的線性空間，抽象的向量與具體的坐標，抽象的線性變換與具體的矩陣，抽象的線性變換形成具體的線性空間，抽象的內積與具體的度量矩陣，具體的歐氏空間與抽象的歐氏空間等等.以下以抽象的向量與具體的坐標以及抽象的線性變換與具體的矩陣為例，說明抽象與具體轉化思想的滲透.

例如，設V是數域P上的n維線性空間，ε1，ε2，…，εn是該線性空間的一組基，對于V中任一向量ξ與它在該基下的坐標（x1，x2，…，xn）之間建立了一個一一對應，即ξ=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.

這使得對抽象向量的討論化歸為對具體n元有序數組的討論.無獨有偶，取定V的基ε1，ε2，…，εn，對V的任一線性變換σ，按

σ（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A.

都對應一個矩陣A，這一對應不僅使V的所有線性變換組成的線性空間與n階矩陣空間建立了同構映射， 而且這一對應還保持線性變換的加法、乘積、數量乘積對應于矩陣的加法、乘積、數量乘積，以及可逆的線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣等一些很好的性質.這樣我們通過坐標， 可以把任一線性變換化歸為“陣乘變換”σ（ξ）=Aξ來討論.

對這種應用把抽象轉化為具體處理問題方法的學習，可以使學生透過事物的表面現象而抓住它的本質，有利于培養他們的創新能力.

2.通過一般與特殊的轉化實現化歸

特殊與一般是對立的統一，在高等代數的學習與研究中，常通過特殊去探索一般，從一般研究特殊，特殊與一般在一定條件下可以相互轉化、相互作用.特殊與一般相互轉化的主要途徑有：特殊到一般，一般到特殊，先特殊后一般，先一般后特殊.

高等代數中很多概念、基本理論與方法的建立體現了由特殊到一般的思想方法和一般到特殊的思想方法，如：n維向量引入是對二維向量、三維向量的推廣， n維線性空間是對向量空間的推廣， n維歐氏空間是對幾何空間的推廣，這些都是由特殊到一般的轉化；在解題時，任意數域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函數與根的問題轉化到常見數域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函數與根的問題，消元法將一般的線性方程組求解化簡成特殊的階梯形線性方程組，利用初等變換把矩陣化簡成其階梯形、標準形、合同標準形、相似對角形，在實線性空間上定義內積的運算得到歐氏空間理論，因此歐氏空間作為實線性空間，其中有基，也有特殊的基——正交基、標準正交基等，這都體現了一般轉化為特殊的思想.另外，教材中的許多定理的證明都滲透了這種思想.

例如，在證明定理“每經過一次對換都改變排列的奇偶性”時，先證明特殊情形：被對換的兩個數碼在排列中是相鄰的；再考慮一般情形：被對換的兩個數碼在排列中不相鄰.把一般情形中不相鄰數碼的對換看成經過奇數次相鄰數碼的對換達到目的，這樣把一般情形轉化為特殊情形的證明，從而證明了該定理.

3.通過高維向低維轉化進行化歸

為使所討論問題的數量關系更易把握，把復雜問題簡單化是解決數學問題的常用方法，這其中一個很重要的方面是低維數化問題，即將需要解決的高維問題化為低維問題解決，高維轉化為低維的表現方式主要有：（1）n維轉化為三維；（2）高階轉化為低階.通過上述轉化，將對“高維”知識、問題的解決，轉化為用“低維”的知識、方法、技能來解決.

在高等代數中，最能反映這一轉化思想的內容有兩部分，一是高階行列式的計算，如利用按某一行（列）展開法則、遞推法、行列式的Laplace展開定理將高階行列式化為低階行列式；二是高階矩陣的運算，利用分塊矩陣將高階矩陣化為低階矩陣.以下以高階矩陣為例，說明從高維向低維轉化思想的滲透.

例如，若求n階可逆矩陣M的逆矩陣，可通過降階公式M=A1B

C1D，其中D可逆，利用分塊矩陣的初等變換計算以及對n×m矩陣A和 m×n矩陣B，λ≠0 時的基本公式|λEn-AB|=λn-m|λEm-BA|等的應用使得高維向低維轉化思想的應用顯得更精彩.

一般地說，低維問題比高維問題簡單，通常是將高維問題化歸為低維問題去解決，但有時卻相反.例如，在計算行列式Dn=1111…11

x11x21…1xn

x211x221…1x2n

…1…1…1…

xn-211xn-221…1xn-2n

xn11xn21…1xnn時，需要增加一行一列，轉化為n+1階范德蒙行列式計算更為簡單.

4.通過構造固定模式進行化歸

數學從某種意義上來說是關于模式的科學，實際問題多種多樣，千變萬化，量與量之間的關系錯綜復雜.我們可以通過觀察分析，將需要研究的、未知的問題轉化為固定模式來討論.

在高等代數中，這一思想有著極其廣泛的應用.如，利用初等變換將n階行列式化成的上三角形或下三角形；利用消元法解線性方程組時將其增廣矩陣化成的階梯形；在非退化的線性替換下，一個二次型化成的平方和；實對稱矩陣的相似標準形、對稱矩陣的合同標準形、復方陣的若爾當標準形、λ矩陣的標準形以及歐氏空間的標準正交基等均屬于此范疇.這里以對稱矩陣的合同標準形為例，說明固定模式化思想的滲透.

例如，設A∈Cn×n，A′=A，則存在可逆矩陣T，使得

T′AT=Er1

1O，其中r為矩陣A的秩.

對稱矩陣的合同標準形保持了矩陣的“秩、對稱性”不變.因此，只要給了對稱矩陣的秩，它的標準形也隨之確定.許多關于對稱矩陣關系問題的討論中，根據問題的結構特點，利用其合同標準形進行處理，這樣做也符合化歸目標的簡單性原則.

例設A為n階復對稱矩陣且rA=r，求證：A可分解為A=T′T，其中T是秩為r的n階陣.

證明因為A為對稱陣，故存在可逆矩陣C，使得

A=C′BC=C′c111111

11111

11cr111

111011

11111

111110C，其中ci≠0，

于是又有A=C′c111111

11111

11cr111

111011

11111

111110

c111111

11111

11cr111

111011

11111

111110C=C′D′DC=DC′DC，取T=DC即可，該題中固定B為合同標準形使問題得到圓滿解決.

二、利用化歸優化數學認知結構

作為科技基礎的數學，將作為一個有力的工具來從事科技的學習和研究.如何使學生具備良好的認知結構是極其重要的.下面說明如何利用化歸使高等代數的認知結構優化.

1.揭示知識內在聯系，掌握知識內在結構

根據同化理論，數學學習主要是有意義的學習，如果原認知結構中的某些觀念與新知識具有實質的、非人為的聯系，可根據新舊知識的邏輯關系，把原有的認知結構主動地與新知識相互作用，形成新的認知結構，而作用的方式主要是“同化”或者“順應”，即在原有認知結構和新的數學內容間，改造一方去適應另一方，這種改造就是轉化.在數學教學中，教師要充分利用“轉化”這一數學思想方法，以它為主線，啟發學生找到教材中的核心內容，掌握知識的內在結構的相互聯系，這樣既可簡化知識，又可靈活運用知識和產生新知識.

2.把握學生現有數學認知結構，從教材的呈現程序方面促進化歸

教學的一個最重要的出發點是學生已經知道了什么，學生的現有數學認知結構是數學教學的出發點.認知心理學認為，影響新的有意義學習的最重要條件就是學生已有認知結構的實質內容和它的組織特點.因此，在高等代數教學過程中，教師要了解學生現有數學認知結構中是否具有足夠的、學習新材料所需要的相關觀念，沒有的要補充，學過但可能遺忘的要復習；分析新材料與已有數學認知結構中相關觀念間的關系.根據學生認識新事物的自然順序和認知結構的特點，教材的呈現也要遵循相應的順序.

通過以上的論述可知，化歸思想體現在高等代數教材的各個方面，只要我們注意挖掘，并在傳授知識的同時作有意識的點播和滲透，就一定會在提高高等代數教學質量、優化學生認知結構等方面收到顯著效果.同時，也應注意到，化歸法主要是一種解決問題的方法，而不是發現問題的方法，這是化歸法本身的局限性.因此，在高等代數教學中滲透化歸方法的同時， 應加強其他思想方法的滲透， 將各種思想方法合理結合，靈活運用。