高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限概念的教學(xué)設(shè)計(jì)`

數(shù)列極限是由初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過(guò)渡的關(guān)鍵內(nèi)容，我采用“啟發(fā)式直觀”的教學(xué)方法.讓學(xué)生由感性到理性，由特殊到一般，由有限到無(wú)限，逐步掌握極限概念的思維方法.

過(guò)程設(shè)計(jì)

第一環(huán)節(jié)“博古通今引出數(shù)列極限的直觀描述性定義”

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生領(lǐng)略極限的意境， “極”、“限”二字，古已有之，今人把“極限”連起來(lái)，稱(chēng)不可逾越的數(shù)值為極限.“挑戰(zhàn)極限”成了最時(shí)髦的詞語(yǔ)和活動(dòng).登珠峰、穿兩極的禁區(qū)是極限，打破100米跑的世界紀(jì)錄是沖擊人類(lèi)體能的“極限”.

接著向?qū)W生介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn).比如我國(guó)魏晉時(shí)期大數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓的周長(zhǎng)的方法——割圓術(shù)，就是用極限思想研究幾何問(wèn)題.通過(guò)模擬割圓術(shù)，使學(xué)生比較具體地感受到“無(wú)窮數(shù)列的變化趨勢(shì)”，加深學(xué)生對(duì)“變化趨勢(shì)”、“無(wú)限接近”、“極限”等感性的認(rèn)識(shí).再比如我國(guó)古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過(guò)一句話(huà)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)事不竭”，這句話(huà)非常形象地描述了一個(gè)無(wú)限變化過(guò)程的歸宿為0.用數(shù)學(xué)符號(hào)表示每天截去一半所余的尺數(shù)是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列1，12，122，123，…，12n，….

然后啟發(fā)學(xué)生思考由無(wú)窮數(shù)列12n的變化趨勢(shì)怎樣去解釋“萬(wàn)世不竭”的含義.學(xué)生最后得出結(jié)論：12n越來(lái)越接近0，但永遠(yuǎn)不等于0，所以萬(wàn)世不竭，而0就是這個(gè)數(shù)列的極限.由此讓學(xué)生歸納出數(shù)列極限的直觀描述性定義：“當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列an能與某個(gè)常數(shù)a任意接近， 則稱(chēng)a為它的極限.”

接著，以數(shù)列nn+1為例，提出一個(gè)學(xué)生不易回答的問(wèn)題：根據(jù)數(shù)列極限的直觀描述性定義，這個(gè)數(shù)列的極限是1，問(wèn)題是為什么不說(shuō)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限地趨近于1.1？讓學(xué)生真切體會(huì)到描述性定義雖然通俗易懂但不精確，科學(xué)的極限定義必須超越直觀與想象，在運(yùn)算和推理論證中具有可操作性，所以必須將“無(wú)限增大”、“任意接近”這些定性描述的語(yǔ)句轉(zhuǎn)換為定量的刻畫(huà).

第二環(huán)節(jié)“由數(shù)列極限的直觀描述性定義過(guò)渡到嚴(yán)格定義”

如何實(shí)現(xiàn)極限概念由直觀描述性定義到定量形式的轉(zhuǎn)化是教學(xué)中的關(guān)鍵和重點(diǎn)，而其中最關(guān)鍵的就是如何理解直觀描述性定義中的“任意接近”.在教學(xué)過(guò)程中我嘗試按下列過(guò)第三環(huán)節(jié)“引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度欣賞數(shù)列極限的定義”

這段數(shù)學(xué)家曾經(jīng)探討幾百年的極限定義，可以像齊白石的畫(huà)，羅丹的雕塑，貝多芬的音樂(lè)一樣，通過(guò)不同的角度，細(xì)細(xì)加以欣賞.欣賞角度1：“數(shù)列若要接近極限到某程度ε，只需項(xiàng)數(shù)靠后到某程度N.”俗話(huà)說(shuō)“若要鐵杵磨成針，只要功夫深”也是這樣的意境.欣賞角度2：在這一定義中只有加減乘除、絕對(duì)值、大于小于這樣的算術(shù)運(yùn)算和符號(hào)，什么“無(wú)限過(guò)程”“任意接近”之類(lèi)的模糊語(yǔ)言全都不見(jiàn)了，似乎把動(dòng)態(tài)的極限過(guò)程靜態(tài)化和有限化了.有限的詞語(yǔ)揭開(kāi)了“無(wú)限”的面紗.欣賞角度3：無(wú)論是“日取其半”還是“割之又割”抑或“任意接近”，定義都作了統(tǒng)一的概括.這就是說(shuō)，變量趨向于一個(gè)極限，或者一步步越走越近，或者有進(jìn)有退但總的是接近都行.正如黃河九曲十八彎，最后還是注入大海，尋到最后的“歸宿”.《莊子·天下篇》說(shuō)：“人生有涯矣，知無(wú)涯矣，以有限隨無(wú)限，殆矣.”人的一生雖然不能窮盡所有知識(shí)，但是人的能動(dòng)思維卻能跨越無(wú)限，用可以操作的有限來(lái)表達(dá)無(wú)限.極限的這一表達(dá)，奠定了微積分的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

第四環(huán)節(jié)“應(yīng)用數(shù)列極限的ε-N定義證明簡(jiǎn)單數(shù)列的極限，加深概念的理解”

結(jié)束語(yǔ)在這樣的教學(xué)過(guò)程中，數(shù)列極限的ε-N定義的難度得到了合理的分解，學(xué)生循序漸進(jìn)，最終達(dá)到理解、掌握和運(yùn)用的目標(biāo).

【參考文獻(xiàn)】

張奠宙，丁傳述，柴俊，著.情真意切話(huà)數(shù)學(xué)＼[M＼].北京：科學(xué)出版社，2011：101-108.