微積分方法在證明不等式中的應用

【摘要】不等式證明是高等數學學習中的一個重要內容，也是數學學習中的一個難點.在不等式的許多證法中，往往需要較高的技巧.利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低.本文主要探討的是運用微積分的知識證明不等式的基本方法.

【關鍵詞】微積分；不等式；證明

不等式是數學研究的重要工具之一，但不等式本身具有比較抽象、邏輯性強的特點，在其初等證法中，往往需要較高的技巧，而利用微積分思想可以使不等式的證明思路變得簡單，技巧性降低.本文主要探討使用拉格朗日中值定理、泰勒展開式、可導函數單調性、極值判定定理等微積分的知識來證明不等式的一些基本方法.

1.用拉格朗日中值定理證明不等式法

小結利用函數單調性證明不等式，不等式兩邊的函數必須可導；對所構造的輔助函數f（x）應在某閉區間上連續，開區間內可導，且在閉區間的某端點處f（x）的值為0，然后通過在開區間內f′（x）的符號來判斷f（x）在閉區間上的單調性.

除以上的方法外，證明不等式還能采用函數的極值和最值、定積分的幾何意義、函數極限及柯西中值定理等.在數學學習中應根據具體問題具體分析，靈活思維，要從不同的角度觀察問題并找出問題的關鍵，從而快捷地掌握不等式的證明問題.