由一道高考立體幾何題想開去

聯(lián)想一：用空間向量的方法研究空間圖形

用空間向量的方法研究空間圖形的性質(zhì)，是中學(xué)立體幾何課程的一項(xiàng)重要改革，我們是否能夠通過建立空間直角坐標(biāo)系研究空間圖像，建立直角坐標(biāo)系，要從圖形的實(shí)際出發(fā)，合理選擇坐標(biāo)軸，一使點(diǎn)、線的表示簡化，運(yùn)算簡明快捷，選坐標(biāo)軸應(yīng)充分利用所給空間圖形已有直線的關(guān)系和性質(zhì)運(yùn)用空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)證明兩直線垂直、求異面直線所成的角、線與面所成的角等問題時(shí)， 利用空間向量的數(shù)量積， 可以變邏輯推理為空間向量的代數(shù)運(yùn)算， 避免了空間想象力的不足， 從而大大降低了難度.用向量解決立體幾何問題的步驟：第一步，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)或向量的坐標(biāo)；第二步，由向量的定義求出相關(guān)的向量；第三步，由向量的有關(guān)知識(shí)判斷向量共線，垂直或求出兩向量的夾角；第四步，根據(jù)題目的要求得出問題的結(jié)果.

利用向量來解決相關(guān)問題有：

平行問題——立體幾何中的平行問題有線線平行、線面平行、面面平行，在證明直線與平面平行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，在證明平面與平面平行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量共線.

垂直問題——垂直是立體幾何的重點(diǎn)，也是歷年高考的熱點(diǎn)問題.用向量方法證明直線與平面垂直，轉(zhuǎn)化為證直線的方向向量與平面的法向量共線；證明平面與平面垂直，轉(zhuǎn)化為證這兩個(gè)平面向量互相垂直，然后根據(jù)垂直的有關(guān)概念得出結(jié)論，從而達(dá)到解決問題的目的.

角度問題——異面直線所成的角，直線與平面所成的角二面角是立體幾何中的重要內(nèi)容之一，用傳統(tǒng)方法求角度的思維過程是“一作，二證，三求”，有較強(qiáng)的技巧性，而利用向量求斜線與平面所成的角只要求斜線與該平面的法向量所成的角，平面與平面所成的二面角和兩平面的法向量所成的角相等或互補(bǔ).

聯(lián)想二：將空間圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來研究

立體幾何是研究空間圖形性質(zhì)、畫法和有關(guān)計(jì)算與應(yīng)用的一門學(xué)科.它是在平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究.在具體研究方法上，我們常常將空間圖形的性質(zhì)畫法和計(jì)算轉(zhuǎn)化成平面圖形來進(jìn)行.因此，轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中的基本思想.

由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的方法，概括起來主要有三種類型：

空間角向平面角轉(zhuǎn)化——立體幾何的直線和平面部分，有一些關(guān)于空間角的問題，如線線、線面、面面關(guān)系中異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角等.在具體刻畫時(shí)，就需要借助轉(zhuǎn)化思想，使其轉(zhuǎn)化成平面角，用平面角的大小，來刻畫空間角的大小.異面直線所成的角，教材中就是將空間角轉(zhuǎn)化成平面角來刻畫兩異面直線的“交叉”程度的.所謂異面直線，是指不在同一平面內(nèi)的兩條直線.而僅憑“不在同一平面內(nèi)”來說明它們的位置關(guān)系，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.要準(zhǔn)確刻畫出兩異面直線的位置關(guān)系，就必須借助于具體的數(shù)學(xué)量來進(jìn)行.立體幾何中，就是采取空間角向平面角轉(zhuǎn)化，用平面角來刻畫兩異面直線的“交叉”程度，用平面距離來刻畫兩異面直線的“相離”程度.即在空間任意一點(diǎn)，引兩條異面直線的平行線，所構(gòu)成的銳角（或直角）叫做兩異面直線所成的角.由此可知，要想求出兩異面直線所成的角，一般的方法是先平移作出角的圖形，再計(jì)算角的大小.

空間距離向平面距離轉(zhuǎn)化——立體幾何中，有關(guān)空間距離，是轉(zhuǎn)化為平面距離，即線段的長來解決的，如異面直線間的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與平面的距離，兩平行平面間的距離等都如此.因此，在求上述空間距離時(shí)，一般方法是先轉(zhuǎn)化成線段，再求線段的長.

空間度量向平面度量的轉(zhuǎn)化——立體幾何中的一些度量問題是向平面度量轉(zhuǎn)化的，如前所述，在空間角的度量中是轉(zhuǎn)化為平面角，用平面角的度量方法來度量的；空間距離的度量，是轉(zhuǎn)化為平面距離，用平面內(nèi)線段的長來度量的；同時(shí)，空間圖形的面積也是轉(zhuǎn)化到平面圖形的面積來度量的，如教材中推導(dǎo)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積，是根據(jù)這些曲面均為可展面，而分別轉(zhuǎn)化為矩形、扇形、扇環(huán)，用平面面積度量方法進(jìn)行度量的.