數形結合思想在大學數學課程中的運用

【摘要】數形結合是數學中的一種重要思想方法.文章分析了數形結合的內涵，在數學教學中實施的必要性，并結合大學數學內容，探討了數形結合模式在線性代數和復變函數課程中的具體運用.

【關鍵詞】大學數學；數形結合；教學模式

【中圖分類號】G642.4

【基金項目】本文為淮陰工學院教育教學研究一般課題（大學數學課程中實施研究性教學的認識與實踐）階段成果課題批準號：JYC201123

如何提高數學課的教學效果是大學數學教學研究中的一個重要課題.相對于初等數學而言，大學數學更為抽象和復雜，高等數學研究變量之間的函數關系，線性代數研究向量、向量空間和有限維的線性方程組，復變函數論研究復數域上的解析函數.大學數學中的一些概念雖然在高中數學中出現過，但無論從廣度和深度上來說，都與初等數學相距較遠，許多大學生常常不能馬上適應，難以相互貫通、有機結合，更不能形成比較完整的知識體系.如果能夠把高中時一些有效的教學方法延展到大學數學的教學中，就可以循序漸進地提高學生對大學數學內容的理解，減少學生對大學數學“抽象晦澀”的片面理解.將數形結合的思想運用于大學數學教學就是一種有益的嘗試.“數”和“形”是數學的兩個柱石，數形結合是一種數學思想，也是一種數學方法，在數學的學習研究中有著廣泛的應用.華羅庚教授曾精辟概述：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數無形時少直覺，形無數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”數形結合的教學模式就是運用嚴謹的數學推理并結合形象直觀的圖形，將某些抽象的概念解釋清楚，并給學生留下形象直觀的感性認識，為他們進一步深入理解這些抽象概念提供一個思考分析的幾何模型.課堂教學中教師啟發學生運用數形結合的思想去解決問題，可以充分鍛煉他們左右腦的思維功能，使學生的形象思維與邏輯思維能力得到協調的發展.

數形結合的思想具體地可分為“以數解形”（幾何問題代數化）、“以形解數”（代數問題幾何化）和“數形互解”三種.結合大學數學教材，下面我們從三個方面闡述在日常教學實踐中，如何培養數形結合思想，提高學生的思維能力.

一、線性代數中的數形結合

線性代數課程是高等院校的一門重要的數學基礎課程.但是由于課時相對緊張，講授過線性代數的教師普遍感覺上這門課比較吃力，教學效果不佳.而學生則認為這門課程抽象不易理解，不能很好地掌握和運用線性代數中的知識.近些年北京航空航天大學李尚志教授積極提倡將線性代數和解析幾何有機地結合起來，在線性代數的教學中引入“空間為體，矩陣為用”的思想.具體地，將線性代數看成n維空間的解析幾何，將解析幾何看成三維空間的線性代數.

線性代數起源于對二維和三維直角坐標系的研究.一個向量就是一個有方向的線段，用長度和方向同時表示，線性代數將向量的概念擴展到有限維的空間.向量在它們之間搭建了一座橋梁，當幾何問題不能直接解決時，就轉化為代數問題來解決；同樣，當代數問題一籌莫展的時候，就用它的幾何直觀來解釋.這種數形結合，不僅可以使學生對線性代數很多概念有幾何直觀的了解，容易理解接受，進而靈活運用，還可以給他們的創新能力打下基礎.例如，在矩陣乘法的教學中，通常只告訴學生將一個矩陣的行和另一個矩陣的列的元素對應相乘，然后將這些乘積的和作為乘積矩陣的相應行和相應列上的元素.矩陣乘法的定義相對矩陣的加法和減法以及數乘都是特殊的，為什么會有這樣的乘法呢？在通常的教學中，并沒有給出解釋.實際上，矩陣的這個乘法可以用幾何中的“線性變換”的概念來加以說明.

二、 復變函數中的數形結合

三、思維總結

在大學數學的教學過程中，教師要培養學生用直觀的圖形語言來刻畫、思考問題的習慣，利用圖形來輔助學生對抽象概念和定理的理解.數形結合在研究問題的過程中，注重把數和形結合起來考察，直觀地考察問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，數形兼顧，從而找到簡便易行的解決方案.在教學實踐中，運用數形結合還應該注意以下幾個原則：

1.啟發性原則

將數形結合的思想貫穿于教學過程要注意啟發學生思維，激發學生的學習興趣和積極性，充分發揮學生的主體作用.在教學中運用啟發式、探究式、問題引導式等方法由淺入深，逐步滲透，切忌教師“填鴨式”的灌輸.興趣是最好的老師，學習數學尤其如此，可以在適當的時候展示數學本身所具有的數形美感，這樣才能更好地提高課堂教學效果.

2. 雙向性原則

在數形結合教學中，既要進行幾何的直觀分析，又要進行代數的精確計算，兩者相輔相成，僅對代數問題進行幾何分析，或僅對幾何問題進行代數計算，許多時候是行不通的.

3.等價性原則

等價性原則是指“數”的代數性質與“形”的幾何性質的轉換應該是等價的，即對于所討論的問題形與數所反映的關系應具有一致性.在解決一個問題之后，應該讓學生再理解一下所研究問題的代數意義和幾何意義，體會數學中統一之美.

數形結合不僅是一種重要的解題方法，也是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用數學思想方法.要提高學生的數形結合能力，需要教師耐心引導，根據數與形的結合點，恰當設參，建立關系，做好數形轉化.

【參考文獻】

[1]徐文龍.“數形結合”的認知心理[D].廣西師范大學，2005.

[1]李尚志.從問題出發引入線性代數概念[J]. 高等數學研究，2006（5）6-8.

[2] 嵇紹春.大學數學課實施探究性教學的認識與實踐[J]. 數學學習與研究，2011（7）：14-15.