數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程初探

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式.它是思維的細(xì)胞，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識大廈的基石，是進(jìn)行邏輯思維的第一要素，是數(shù)學(xué)思想和方法的載體.因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不容忽視的地位.

數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的.任何數(shù)學(xué)概念都有它產(chǎn)生的背景，考察它的來龍去脈，我們能夠發(fā)現(xiàn)它是合情合理的.而要讓學(xué)生理解概念，首先要了解它產(chǎn)生的背景，通過大量實(shí)例分析概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生概括概念，完善概念，進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用概念.因此，筆者認(rèn)為概念教學(xué)的環(huán)節(jié)應(yīng)包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明確概念——應(yīng)用概念——形成認(rèn)知.

1.概念引入

學(xué)習(xí)一個新概念，首先應(yīng)讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)它的意義、作用.因此，教師應(yīng)設(shè)置合理的教學(xué)情景，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)新概念的必要性.概念的引入，通常有兩類：一類是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程引入，一類是從解決實(shí)際問題出發(fā)的引入.

從數(shù)學(xué)體系發(fā)展過程角度看，一些概念是從數(shù)學(xué)知識發(fā)展需要引入的.例如：在講平方根時，教材上只是給出定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也稱為二次方根.為什么引入平方根概念呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶我們學(xué)過的加、減、乘、除、乘方的概念的引入：加法和減法是互為逆運(yùn)算的，乘法和除法是互為逆運(yùn)算的，乘方是否有逆運(yùn)算呢？這些看起來是規(guī)定的概念，也要讓學(xué)生了解其規(guī)定的合理性，以便于學(xué)生更好地理解和記憶.

從解決實(shí)際問題的角度看，一些概念是從生活的需要引入的.例如，在引入負(fù)數(shù)時，教師可以舉例：零上10度和零下10度，向東30米和向西30米，收入500元和支出500元等，這樣學(xué)生既能了解概念的實(shí)際背景，明白引入負(fù)數(shù)的必要性，又有利于學(xué)生認(rèn)識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.概念的形成

概念的形成階段，教師可以通過大量典型、豐富的實(shí)例，讓學(xué)生進(jìn)行分析、比較、綜合等活動，揭示概念的本質(zhì).例如，函數(shù)概念是初中階段最抽象的一個概念，與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)無直接關(guān)系，因此在教學(xué)時，我先舉了學(xué)生所熟知的速度、路程、時間關(guān)系的例子，利用學(xué)生熟悉的背景，從分析中發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)屬性.后又舉了下面的例子：電影院的票房收入和售票張數(shù)、彈簧長度和重物質(zhì)量、圓的面積和半徑、矩形的面積和長之間的關(guān)系，通過這些實(shí)例，從不同的背景反映了在變化過程有兩個變量，并且變量之間有對應(yīng)關(guān)系這一本質(zhì)，使學(xué)生建構(gòu)了良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為函數(shù)概念做好充分的準(zhǔn)備.但此時學(xué)生頭腦中形成的是兩個變量之間的關(guān)系必須用代數(shù)式表示，而這一屬性并非是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.因此我又讓學(xué)生研究了一張心電圖和人口統(tǒng)計表，至此學(xué)生真正認(rèn)清了兩個變量之間對應(yīng)這一本質(zhì)，這個本質(zhì)可以通過解析式表示、圖像表示、列表表示，這樣學(xué)生已初步形成了函數(shù)的概念.

3.概念的概括

概括是概念教學(xué)的核心.概括概念就是讓學(xué)生通過前面的分析、比較，把這類事物的共同特征描述出來，并推廣到一般，即給概念下了個定義.概念教學(xué)中把握好概念概括這一環(huán)節(jié)，有利于學(xué)生概括能力的培養(yǎng).如果學(xué)生概括的不準(zhǔn)確，教師可以設(shè)計一些問題讓學(xué)生關(guān)注其中的特征，然后進(jìn)一步完善定義.這樣進(jìn)行概念教學(xué)，不僅能幫助學(xué)生理解概念，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.如學(xué)生在對無理數(shù)的概念進(jìn)行概況時，若以無限小數(shù)定義為無理數(shù)就太寬了，教師可以舉例227，通過計算不難發(fā)現(xiàn)，這是無限循環(huán)小數(shù)，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù).若以開不盡方根的數(shù)來定義無理數(shù)就太窄了，因?yàn)檫€有e，π，4.2828828882……（每兩個2中間多一個8）等無限不循環(huán)小數(shù)的存在.通過這樣反復(fù)的糾正，讓學(xué)生概括出“無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)”這一定義.

4.明確概念

明確概念即明確概念的內(nèi)涵和外延.明確概念，就是要明確包含在定義中的關(guān)鍵詞語.概念生成之后，應(yīng)用概念解決問題之前，往往要進(jìn)行概念剖析，即用實(shí)例（包括正例與反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達(dá)到明確概念、再次認(rèn)識概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問題的方法，這是最基本、最重要的方法.

此外，在剖析概念時通常要對概念的多種表示語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語言主要是文字語言、符號語言、圖形語言，要會三者的翻譯，同時更重要的是強(qiáng)調(diào)符號感.

5.應(yīng)用概念

概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的應(yīng)用是一個由一般到個別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個階段.通過運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運(yùn)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力. 因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應(yīng)用.教師可以根據(jù)不同概念的特點(diǎn)，選用有代表性的簡單例子，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，使學(xué)生形成用概念做判斷的具體步驟，激勵學(xué)生實(shí)現(xiàn)對概念的理解，讓學(xué)生學(xué)得好、學(xué)得牢.

課本中直接運(yùn)用概念解題的例子很多，教師可以充分利用，也可以對學(xué)生在理解方面易出錯誤的概念，設(shè)計一些有針對性的題目，通過練習(xí)、講評，使學(xué)生對概念的理解更深刻、更透徹.

6.形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使自己得到全面發(fā)展的過程.因此，學(xué)習(xí)了一個新概念后，一定要把它與相關(guān)的概念建立聯(lián)系，明確概念之間的關(guān)系，從而把新概念納入概念體系中，即在概念體系中進(jìn)行概念教學(xué).

當(dāng)然，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，不僅僅是一節(jié)概念課就能完成的.對概念的理解與掌握是一個循序漸進(jìn)的過程，需要在概念課的后繼課程中不斷地反復(fù)應(yīng)用，不斷地加深理解.在中學(xué)階段究竟怎樣才能把數(shù)學(xué)概念講全面，講透徹，不僅是理論問題，更是一個實(shí)踐課題，筆者將不斷進(jìn)行摸索.