“微積分”的數學文化價值分析

文藝復興之后誕生的微積分是人類理性精神和理性思維與經驗科學完美融合的一個范例，它對自然界的物質運動及變化規律進行數學描述奠定了強有力的基礎，同時微積分對數學的一個劃時代的和不朽的貢獻就是它把運動變化和無限的思想引入數學，并成為一種基本的數學思想；另一方面唯物辯證法思想借助微積分載體而變成了現實.因此作為現代數學的一個載體，學習微積分文化，對現代人的思維方式的養成具有深遠的影響.通過微積分的學習，能使高職學生初步獲得現代工程技術所需要的數學基礎知識，具備當代社會公民應有的數學素質，能使高職生學習專業知識、其他科學或參加社會生產勞動做好基礎.我們以教學設計“微積分的概念”為契機進行數學文化價值分析.

一、 教師活動

（一）提出問題，啟動思維

問題1如何求正方形、長方形、三角形的面積？這些圖形都有什么特點？

問題2你知道圓的面積公式嗎？它的面積是怎樣計算的？

（二）引入新課，探究學習

（三）整理新知，鞏固所學

（四）課堂小結，思考問題

小結：（1）求曲邊梯形的思想方法是什么？具體步驟是什么？最終形式是什么？

（2）結合求曲邊梯形的思想和步驟談談你對“以直代曲”的核心思想的認識.

二、設計意圖

問題1學生歸納平面圖形特點是：各邊都是線段組成的圖形.同時把思維引向如何求面積的方向上來.

問題2學生感受求曲邊圖形面積的難度，回憶圓的面積求法，為本節課類比做好鋪墊.

問題3給出曲邊梯形的定義，明確本節的研究課題，由具體問題出發，激發熱情.

問題4先研究特殊的曲邊梯形的面積，簡化運算，揭示思想核心.應用“以直代曲”的思想把求由拋物線y=x2與直線x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積歸納為以下步驟：分割→近似代替→求和→取極限.

問題5先分后總整理一般步驟，得到一般方法，給出求解這類問題的一般步驟：“四步曲”，由特殊問題探究上升到一般認識.

問題6通過解決具體曲邊梯形的面積，熟悉求曲邊梯形的方法和具體步驟，從而鞏固定積分的最本質的思想方法，為下節課學習打好基礎.

設計要求和意圖：讓學生自己總結并談體會，反饋和評價本小節學習，強調重點，即掌握求解過程的步驟是分割、近似代替（以值代曲）、求和、逼近（取極限）的思想.

三、文化價值分析

問題1：平面圖形的組成形式；問題2：分割思想，數學知識來源于生活； 問題3：因為實際需要而產生；問題4：以直代曲，近似到精確，逼近的思想；問題5：升華到特殊到一般的探究過程，從而形成數學概念；問題6：再由一般到具體例題的理論實踐過程，學生總結歸納形成思維，理解以直代曲的數學文化價值.

本教學案例設計突出概念教學，強化概念的形成過程，培養學生的數學模型意識；突出數學思想方法的教學，加強了導數概念的形成過程及與實際問題的迫切聯系；加強了定積分本質的理解；借助微積分產生的時代背景，突出學生人文價值的培養.

微積分概念中，其總體思想是“整體—局部—整體”.這一思維方式在求曲邊梯形的面積（定積分定義） 中得到了體現，在每個局部小范圍內體現“以直代曲”、“以不變代變”和“逼近”的數學思想.求曲邊梯形面積包括：①“化整為零”，把曲邊梯形分割為若干個小曲邊梯形.②“以直代曲”，對于每個小曲邊梯形用相應的矩形面積近似代替.③“積零為整”，將所有的小矩形面積加起來求出大梯形面積，得出曲邊梯形面積的近似值.④“回歸精確”，把曲邊梯形無限細分，這時每個無限小的矩形面積就轉化為微分、極限式求值，此時原來的近似值變為準確值（質變過程），得到定積分.同樣在其中也包含了化歸的核心思想：化繁為簡，化難為易，化動為靜，抽象到具體的數學文化價值.因此，我們不應該以靜止的眼光，而應以可變的觀點去看待問題，即應善于對面對的問題進行變形.

綜上所述，我們不難發現對高職生來說，微積分的抽象難懂就不會再成為學習高數的絆腳石，而理解微積分中蘊含的豐富人文價值，品味數學思想魅力，沉淀數學文化的內涵，則成為高職生學習數學的動力和目標.